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[答627] 並べ変えた数の和が901の倍数

ヤドカリ

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[答627] 並べ変えた数の和が901の倍数


 nを0以外の3種類の数字でできている3桁の自然数とし、

 f(n) を 数字を並べ変えてできる5個の3桁の数の和とします。

 例えば f(123)=132+213+231+312+321=1209 です。

 このとき、f(n) が 901の倍数である3桁の自然数nは?


[解答1]

 nの百の位を a,十の位を b,一の位を c とします。

 もとのnを含めて6個の数の全体には、百・十・一のどの位にも a,b,c が2個ずつあるので、

 f(n)=222(a+b+c)-n になります。

 また、f(n) は 901の倍数だから自然数 m を用いて、f(n)=901m とします。

 f(321)≦f(n)≦f(789) より 1011≦901m≦4539 、m=2,3,4,5 です。

 222(a+b+c)-n=901m より n=222(a+b+c)-901m になります。

 ここで、n-(a+b+c)=221(a+b+c)-901m=225(a+b+c-4m)-4(a+b+c)-m は9の倍数だから、

 4(a+b+c)+m=4a+4b+4c+m は9の倍数になります。

 2n=444(a+b+c)-1802m=111(4a+4b+4c+m)-1998m+85m=999{(4a+4b+4c+m)/9-2}+85m で、

 2・123≦2n≦2・987 、2n は 246 以上 1974 以下の偶数だから、

 2n=85・4,999+85・3,999+85・5 、n=170,627,712 に絞られます。

 f(170) は定義されず, f(627)=222(6+2+7)-627=2703, f(712)=222(7+1+2)-712=1508 、

 よって、n=627 です。


[解答2]

 901=17・53 だから、f(n)が 17の倍数であり、53の倍数であるnを求めることになります。

 nの百の位を a,十の位を b,一の位を c とします。

 もとのnを含めて6個の数の全体には、百・十・一のどの位にも a,b,c が2個ずつあるので、

 f(n)=222(a+b+c)-(100a+10b+c)=122a+212b+221c になります。

 f(n)=122a+212b+221c=53・4(a+b+c)-9(10a-c) が、53の倍数になるためには、

 10a-c が 53の倍数であればよいので、a=6,c=7 です。

 f(n)=122a+212b+221c=17・13(a+b+c)-9(11a+b) が、17の倍数になるためには、

 11a+b が 17の倍数、a=6 のとき b=2 です。

 よって、n=627 です。( f(627)=222(6+2+7)-627=2703 です。)

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Comments 16

There are no comments yet.
古い人  
No title

あれ今日の花はクサギの花ですね。

私も写真を撮ってきました。
此の後の実も面白い形ですね。
ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。。
可愛いお花ですね。。でも~~葉っぱが・・くさっ。。
ナイスです

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

クサギの花ですか

先日 見たのですが 名が解らず しませんでした

小さな花が 沢山咲き可愛いですよね ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
クサギの花
此方でも良く見かけますね
葉っぱに触るとくさいらしいですが遠めに見るのには綺麗で可愛い花ですネ

此方のクサギの花8月は雨も少なかったせいか 元気がないようです
ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
工夫があればすっきり解けますのね☆
わたしゃ...極ふつうに(たいした工夫も思いつかず...^^;)考えたけど...それでもなんとかいけました ^^;v...Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
なんと言うお花なんでしょう。
道東では見たことがないわ~~
暖かいといろんなお花があっていいですね。
ナイス☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
おしべか、めしべか・・・長いのが面白いですね(o^-^o)
ナイス!

tsuyoshik1942  
No title

最初の解答送信はPCの力に拠りました。
その後、手計算での絞込みを試みました。序の口こそ、[解答1]および[解答2」と同じでしたが、直ぐに行き止まり数10倍の試行錯誤を重ねました。勉強になりました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
貴殿も写真を撮られましたか。
実は当分先ですが、羽根つきの羽根のように見えます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
クサギの花が沢山咲いていました。
そんなに近づかずに撮りましたよ。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
クサギの花はちょっと派手ですが、なかなか綺麗です。
名前が分かったようですので、機会があれば撮ってみて下さい。
実も面白いと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難う御座います。
そちらでも沢山咲いていますか。
仰る通り、遠目でも目立ちましたので、惹かれるように近づいて撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
なるべく簡単に能率よく解く工夫が、問題と解くときの醍醐味ですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
葉が臭いので、クサギと言われます。実が羽根つきの羽根のようで面白いです。
ところで、道東には此方にない花がいっぱい、よく貴女のブログで見せて頂いています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
本当に長くのびていますね。
知っていても、いつもそう思います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
出だしは誰が考えても、同じようになると思います。
いかに能率よく解けるかが、解くときの楽しみです。
[解答2]でできるように、901の倍数と設定したのですが、
あえて 901の性質を使わないで[解答1]を作りました。