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[答628] 正方形内の正八角形の面積

ヤドカリ

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[答628] 正方形内の正八角形の面積


 1辺の長さが 1 の正方形OPQRがあり、図のように、中央に正八角形ができるように、

 OA=OE=PB=PF=QC=QG=RD=RH<1/2 の条件で、辺上に A,B,C,D,E,F,G,H をとります。

 このとき、正八角形の面積 S=?


[解答1]

 下左図は、正八角形AEBFCGDHの頂点を1つおきにつないで、中央に正八角形を作ったもので、

 辺EB,FC,GD,HAを延長すれば、正方形OPQRができることを示したものです。

 BC,EFの交点を T とすれば、△PBT は頂角が 45゚ の二等辺三角形になり、PT=PB です。

 OE:EB:BP=1:√2:1 ,OE+EB+BP=1 だから、BP=1/(2+√2)=(2-√2)/2 、

 面積を求める正八角形の外接円の半径は (√2)/2-PT=(√2)/2-(2-√2)/2=√2-1 です。

 等辺が a で頂角が 45゚ の二等辺三角形の面積は (1/2)a(a/√2)=a2/(2√2) だから、

 S/8=(√2-1)2/(2√2) 、

 S=(2√2)(√2-1)2=(2√2)(3-2√2)=6√2-8 になります。


[解答2]

 QPの延長上に点Tをとって、直角二等辺三角形PETを描けば、

 ∠TFE=67.5゚,∠TEF=45゚+22.5゚=67.5゚ だから、TE=TF=TP+PF=EP+OE=1 となって、

 EP=1/√2 ,PF=1-1/√2 になります。

 また、下右図のように、CD上の正八角形の頂点を K,L 、K,L からQRにおろした垂線の足を N,M とすれば、

 QK は ∠CQD の二等分線になります。

 QN:ND=CK:KD=CQ:QD=PF:EP=(1-1/√2):1/√2 だから、

 QN={(1-1/√2)/(1-1/√2+1/√2)}QD=(1-1/√2)EP=(1-1/√2)/√2=1/√2-1/2 になり、

 LM:CQ=DM:DQ より、LM:CQ=(DQ-MQ):DQ 、LM:PF=(EP-1/2):EP 、

 LM=PF(EP-1/2)/EP=(1-1/√2)(1/√2-1/2)√2=(1-1/√2)2=3/2-√2 になります。

 S=1-8(四角形LKQM)=1-8(台形LCQM-△KCQ)=1-4(LM+CQ)・MQ+4CQ・NQ

  =1-4(LM+PF)/2+4PF・NQ=1-2(3/2-√2+1-1/√2)+4(1-1/√2)(1/√2-1/2)

  =1-2(5/2-√2-1/√2)+(√2)(√2)(1-1/√2)・2(1/√2-1/2)

  =1-5+2√2+√2+(√2)(√2-1)2=-4+3√2+(√2)(3-2√2)

  =-4+3√2+3√2-4=6√2-8 になります。


[解答3]

 下右図で、CK:KL:LD=1:√2:1 だから、

 S/正方形ABCD=1-2/(2+√2)2=1-1/(√2+1)2=2(√2-1) です。

 また、1=CQ+QD=CD・sin22.5゚+CD・cos22.5゚=CD(sin22.5゚+cos22.5゚) を2乗して、

 1=CD2(sin222.5゚+2sin22.5゚cos22.5゚+cos222.5゚)

  =CD2(1+sin45゚)=CD2(1+1/√2) 、

 CD2=1/(1+1/√2)=(√2)/(√2+1)=(√2)(√2-1) です。

 S/正方形ABCD=2(√2-1) と CD2=(√2)(√2-1) を辺々乗じて、

 S=2(√2)(√2-1)2=2(√2)(3-2√2)=6√2-8 になります。

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Comments 16

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古い人  
No title

今日の花は何ですか見たこと有るような無いような花ですね。

白くて綺麗ですがわかりません。
ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。
白き小さなかわいいお花ですね。
なんだろう・・
こういうアングルもすてき!ナイスです

アキチャン  
No title

おはようございます。
ほんとに白くて素敵に撮られていますね(o^-^o)
ナイス!

ニリンソウ  
No title

センニンソウでしょうか、花後に白いひげが出たら
解りますね

ナイス

こっこちゃん  
No title

おはようございます

こちらも鼻の名前わかりませんが

白くて ハナシベ 立派ですね ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
解答1とほぼ同じでしたが...大きい正方形で角を削って求めたものに、小さい正方形の辺^2を掛けましたぁ ^^...Orz~

tsuyoshik1942  
No title

図柄も使用された数字も単位数のみと簡明なのに「答と問題番号」の絡みがきれいです。

いずれの解答とも異なりますが、自分も、45度と45/2度の性質を利用し答を得ました。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは

彼方此方に一杯咲いていますね
此方でも最近何処を見ても咲いているくらい至る所に咲いているようです
今年は国道220号線沿いでも一杯咲いています
真っ白の小さな花が可愛いですネ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花は仙人草です。
たくさん咲いていて見ごたえがありました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この白い花は仙人草です。
たくさんの花が咲いていたので、多く見えるアングルにしました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
鼻をアップにすると多さが分からないし、
多く咲いていることが分かるように撮ると花が小さくなります。
この程度にしました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
流石によくご存知ですね。センニンソウです。
白い花がたくさんで素敵でした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花弁も蕊も小さいけど立派でした。
ちょうど良い時期に見たと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
解き方はいろいろありそうですね。
より簡単に解けるように工夫をするのが面白いです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
以前になんとなくこの図の面積を求めると、6√2-8 になったので、
628番にとっておきました。
「図柄も使用された数字も簡明」なのは、そのような理由です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
景色の良い国道220号線沿いでも一杯咲いているのですね。
素晴らしい背景とともに見せてほしいです。