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[答629] 正四面体と正八面体

ヤドカリ

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[答629] 正四面体と正八面体


 1辺の長さが 1 の正四面体の体積と等しい体積をもつ正八面体の1辺の長さは?


[解答1]

 1辺の長さが a の正八面体は

 底面が 1辺の長さが a の正方形で、高さがその対角線の 1/2 の正四角錐2個でできるから、

 体積は、2・(1/3)a2(a/√2)=(√2)a3/3 になり、

 1辺の長さが a の正四面体は

 1つの面の重心と頂点の距離が {(√3)a/2}(2/3)=(√3)a/3 になるので、

 この面を底面とする高さは √〔a2-{(√3)a/3}2〕=(√6)a/3 、

 1辺の長さが a の正三角形の面積は (√3)a2/4 だから、

 体積は (1/3){(√3)a2/4}{(√6)a/3}=(√2)a3/12 になります。

 1辺の長さが a の正八面体の体積は (√2)a3/3 ,正四面体の体積は (√2)a3/12 だから、

 求める長さを x とすれば、(√2)x3/3=(√2)/12 、x3=1/4=2/8 、

 x=( 3√2)/2 になります。


[解答2]

 図のように、正四面体の辺の中点を通る平面で、1辺の長さが 1/2 の正四面体4個を切り落とすと、

 もとの正四面体の体積の 1-4・(1/2)3=1/2 の体積の正八面体ができます。

 この正八面体の1辺の長さは 1/2 だから、体積を2倍にするために 1辺の長さを ( 3√2)倍して、

 ( 3√2)/2 になります。

☆ ( 3√2)/2=0.629960…… です。

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Comments 18

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古い人  
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ナツスイセンですか。

彼岸花科の此の花も種類の多い花ですね。
此の時期彼方此方で善く見られますね。
よく見ると葉が有りますねナツスイセンは花の後に歯がね。
判りませんね。ナイス

樹☆  
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おはようございます。
とても鮮やかなピンクですね。。
葉っぱが枯れてお花が咲くなんて魔法のよう。。
ナイスです

こっこちゃん  
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おはようございます

ナツツスイセン ヒガンバナカですね

まもなく お彼岸がきますね ナイス☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
私の好きなお花♪ 家にも何度目かの花を観れました(o^-^o)
ナイス!

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
サフランモドキ 沢山の花で見事ですね
ピンクの花弁がとても可愛いですね
ナイス♪

スモークマン  
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グーテンターク ^^
これは、wikiで正四面体をのぞいたときに、各辺の1/2を削ると正八面体になることを読んでしまったもので...ズルして入っちゃいましたぁ...^^; Orz~

ところで...
正四面体の各面に同じものをくっつけても...
正十二面体(4*3=12)にならないのは何故なんでしょね...?
どんな立体になるのか頭の中でイメージつかず...^^;;...

ゆうこ つれづれ日記  
No title

ナツズイセンと言うのですか?
ピンク色のお花が素敵ですね。
私の街でも咲くかも・・・(^^ゞ咲かないかな・・・
ポチ☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」で両者の体積を計算し、その比が1:4であることを得ました。
この結果を得た後、前にどこかで、この事柄、そして「解答2」の考え方にもも遭遇しているような気がしました。
今度は、頭に残ったような気がします。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
私はレインリリー(タマスダレ)と思って撮りました。
他の所で見たナツズイセンは感じが違いました。
似たものはややこしいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ピンクのレインリリーが綺麗に咲いていました。
鮮やかな色でした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私はレインリリー(タマスダレ)と思って撮りました。
似たような花が多く咲いていますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴女のブログでもよく紹介されていますね。
私は撮っていなかったのですが、余りにも綺麗に咲いている所に遭遇し、
撮ってみました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
私はレインリリー(タマスダレ)と思って撮りました。
仰る通り、サフランモドキかも知れません。
細かい所まで見ないで撮ったのでよく分かりません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
正四面体の各面に側面が直角二等辺三角形の正三角錐をつければ立方体になり、
立方体の各面に屋根形をつければ、
[613] http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33054075.html
のように、正十二面体になります。
直接はどうするのか、正三角錐に屋根型の 3/2 をつけることになりそうですが、
出来るかもしれませんし、出来ないかも知れません。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ナツズイセンとはどうも違うようですが、
レインリリーかサフランモドキだと思います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
正多面体どうしは私が知らない関連がいろいろありそうです。
[解答2]が閃けは簡明でいいですね。

ひとりしずか  
No title

白しか知りませんでした
キレイな色!
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この花はよく見かけるので、形のいいものに出会ったら撮ろうと思っていたら、
見事に咲いているに出会って、カメラに収めました。