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[答630] 3つに分割する方法

ヤドカリ

ヤドカリ



[答630] 3つに分割する方法


 図は、1cm の方眼に描かれた 2cm×6cm の長方形を、3つの領域に分割した4個の例です。

 この例のように、方眼の縦横の線の一部をなぞって長方形を3つの領域に分割する方法は何通り?


[解答1]

 中図の上4個の図のように、中央に緑の線を入れておき、

 1cm の点線が 12本あって、そのうちの3本か4本と緑の必要部分をなぞれば、

 上図の例のように長方形を3つの領域に分割されますので、

 一応、123124=220+495=715 通りです。

 ただし、中図の下2個の図のように、縦の線がつながり、その左右に赤の線分が配置されているとき、

 左右のに赤の線分のうち、片方は不要で、3本を選んだ場合になります。

 最下段左図のように、縦線だけを選ぶ場合、左右の縦の線分が上下いずれにあるかも考えて、

 53・4=40 通り、

 最下段右図のように、片方だけ横線を選ぶ場合、左か右の縦の線分が上下いずれにあるかも考えて、

 2・52・2=40 通り、

 両方の横線を選ぶ場合、5 通りだから、

 715-(40+40+5)=630 通りです。


☆ 一般に、もとの長方形を 2 cm × n cm のとき、

 2n32n4n-13・4-2・n-12・2-(n-1)

  =2n(2n-1)(2n-2)/6+2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)/24-4(n-1)(n-2)(n-3)/6-4(n-1)(n-2)/2-(n-1)

  =4n(2n-1)(n-1)/6+n(2n-1)(n-1)(2n-3)/6-4(n-1)(n-2)(n-3)/6-12(n-1)(n-2)/6-6(n-1)/6

  =(n-1){4n(2n-1)+n(2n-1)(2n-3)-4(n-2)(n-3)-12(n-2)-6}/6

  =(n-1)(4n3-4n2+7n-6)/6 通りです。


[解答2] sbr*d4*5さんの考え方を一般化して

 もとの長方形を 2 cm × n cm として

 複素平面上で、長方形の頂点を ±i,n±i とし、p,q を結ぶ線分を p⇔q で表すことにします。

 分割線が上図の上2個のようにつながっている場合、

  0⇔1,n-1⇔n,1⇔1±i,2⇔2±i,3⇔3±i,……,n-1⇔n-1±i の 2n 本のうち3本と、

  1⇔n-1 の必要部分を分割線にすればよいから、

  2n3=2n(2n-1)(2n-2)/6=2n(2n-1)(n-1)/3 通りです。

 分割する線が上図の下2個のように分かれている場合、

  以下、 x⇔x±i は x⇔x+i,x⇔x-i のいずれか片方を表すものとして、

  次の(1)(2)(3)の3種類があります。

  (1) a<b<c<d<n を満たす自然数a,b,c,dを選んで、次のような6本の分割線を決める場合、

  a⇔b と c⇔d と a⇔a±i と b⇔b±i と c⇔c±i と d⇔d±i

  n-14・2・2・2・2=2(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/3 通り、

  (2) a<b<c<n を満たす自然数a,b,cを選んで、次のような5本の分割線を決める場合、

  a⇔b と a⇔a±i と b⇔b±i と c⇔c+i,c⇔c-i,c⇔n のうちの2本

   または

  b⇔c と b⇔b±i と c⇔c±i と a⇔a+i,a⇔a-i,a⇔0 のうちの2本

  n-13・(2・2・3+2・2・3)=4(n-1)(n-2)(n-3) 通り、

  (3) a<b<n を満たす自然数a,bを選んで、次のような4本の分割線を決める場合、

  a⇔a+i,a⇔a-i,a⇔0 のうちの2本 と b⇔b+i,b⇔b-i,b⇔n のうちの2本

  n-12・3・3=9(n-1)(n-2)/2 通りです。

 よって、長方形を3つの領域に分割する方法の数は、

 2n(2n-1)(n-1)/3+2(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/3+4(n-1)(n-2)(n-3)+9(n-1)(n-2)/2

  =(n-1){4n(2n-1)+4(n-2)(n-3)(n-4)+24(n-2)(n-3)+27(n-2)}/6

  =(n-1)(8n2-4n+4n3-36n2+104n-96+24n2-120n+144+27n-54)/6

  =(n-1)(4n3-4n2+7n-6)/6


[解答3] uch*n*anさんの解答の漸化式で一般化して

 もとの長方形を 2 cm × n cm として,

 右端の縦線に横の分割線がぶつからず三つに分かれる場合を an 通り,

 右端の縦線に横の分割線がぶつかり三つに分かれる場合を bn 通り,

 右端の縦線に横の分割線がぶつからず二つに分かれる場合を cn 通り,

 右端の縦線に横の分割線がぶつかり二つに分かれる場合を dn 通り,

 とし,an+bn を求めます。

 右端に 2 cm × 1 cm を追加して 2 cm × (n+1) cm にすると,

 下図のように,次の漸化式が得られます。

  an+1=an+2bn+cn+dn

  bn+1=bn+2cn+2dn+1

  cn+1=cn+2dn+1

  dn+1=dn+2

 ただし,a1=0,b1=0,c1=0,d1=1,です。

 以下、Σを k=1 から n-1 の和を表すものとして、

 dn=2n-1 だから、

 cn=c1+Σ(2dk+1)=Σ(4k-1)=2(n-1)n-(n-1)=2n2-3n+1 、

 bn=b1+Σ(2ck+2dk+1)=Σ(4k2-2k+1)

  =2(n-1)n(2n-1)/3-(n-1)n+(n-1)=(4n3-9n2+8n-3)/3 、

 an=a1+Σ(2bk+ck+dk)=Σ(8k3-12k2+13k-6)/3

  ={2(n-1)2n2-2(n-1)n(2n-1)+13(n-1)n/2-6(n-1)}/3

  ={4(n-1)2n2-4(n-1)n(2n-1)+13(n-1)n-12(n-1)}/3

  =(4n4-16n3+29n2-29n+12)/6 、

 an+bn=(4n4-16n3+29n2-29n+12)/6+(4n3-9n2+8n-3)/3=(4n4-8n3+11n2-13n+6)/6

  =(n-1)(4n3-4n2+7n-6)/6

.

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Comments 19

There are no comments yet.
古い人  
No title

今日の花はブルーの花ですね。

サルビアの一種ですか色がとても綺麗ですね。
穂咲きの花で花期が長く愉しめそうですね。
ナイス

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
爽やかな秋の空みたいなブルーの花は?
ブルーサルビアかな。

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。。
すてきな色のお花ですね。。清々しく感じます。
ブルーサルビアとは違うような。。

tsuyoshik1942  
No title

最初、上手く数え上げることが出来ず、仕方なくプログラムを組みました。
プログラムそのものの正当性に疑念がありましたが、見えていたn=6の時の答が630に、また、実際に数え上げた n=2→4、n=3→29が出てきたので、正しそうだと判断しました。
そしてその結果から、一般式=(n-1)(4*n^3-4*n^2+7*n-6)/6 を得ました。

その後、何回も数え上げからのアプローチに挑戦し、ようやく[解答1」に思い至り、同じ一般式を得ることが出来ました。もっとも、4本で4個の領域に区分してしまうところの処理は解答とは異なり、自分の方が複雑でした。

いずれにしろ、楽しませていただきました。

アキチャン  
No title

おはようございます。
なんとも淡いブルーできれいですね~♪
ナイス!

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
ブルーの色が鮮やかですね
サルビアの花でしょうか
秋空を想像しますね
ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは閃かず諦めかけたけど...必至で数え上げようと試み、やどかりさんのヒントも頂きやっとたどり着けたものの...はたして重複がないのかどうかわからないままのいい加減なものになりました...^^;
最初2分割を考えて、その片方をまた2分割すればいいかとも思うも、2分割そのものがややこしそうで挫折...境界が重複しても縦4個か横4個になるので、それで場合分けしてみたんですが抜けてました...^^;;...
解答1は柔なわたしの歯でもなんとか噛めそうなので味わってみたいと思います...☆...Orz~

uch*n*an  
No title

これは,私は三つの方法で解きました。
(解法1)は[解答3]ですが,その時は時間もなく,一般解では導きませんでした。
やどかりさん,一般解の導出をありがとうございます。
この漸化式を作るのは比較的容易で,その意味では簡単に解けたのですが,
[解答1]に気付かず,その意味では苦労しました。
(解法2),(解法3)はその軌跡で,なぞる縦線の数に注目した解法です。
一応,(解法3)の一般化した式を書いておくと,
((n+1)C3 * (n+1)C3 - (n-1)C3 * (n-1)C3 - (n-1)C3 * (n-1)C2 * 4
- (n-1)C2 * (n-1)C2 * 3 + (n-1)C3 * 2 + ((n-1)C1 * (n-1)C1 * 2 - (n-1)C1))
+ ((n+1)C4 + (n+1)C3) * 2
になります。もちろん,これを計算すれば一致しますが,[解答1]の方がはるかに簡単ですね。
[解答2]は時間がなくてまだ読んでいません。
複素数はちょっと驚きですが,単に説明上の都合なのかな?
後でじっくり読んでみますね。

ヤドカリ  
No title


写真の植物は洞庭藍(トウテイラン)です。
花の文化園で見ました。
日本海側の海岸などに自生する
ベロニカ属の多年草です。
全体が白い綿毛に覆われていて、
全体的には白緑色に見えます。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
上に書きましたように、写真の花は洞庭藍です。
珍しい花ですが、花の文化園で毎年見ます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
流石の貴女でもご覧になったことがないようですね。
トウテイランの青紫色は印象的でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花の名前は難しいですね。
何度も出会うと覚えるのですが、8~9月にしか出会えないので、
私も名前のプレートを見て思い出す程度です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
一筋縄で解ける問題でなかったので、楽しめる気のある人には楽しめますね。
いろいろ創意工夫できる問題だと思います。
私が考えなかった解答を加えました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私も青紫色が印象に残っています。
自然もきれいな色を見せてくれるものですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難う御座います。
日本海側に自生する花だそうですので、普通に見かけることはありません。
鮮やかな青紫色でした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
面倒な問題をいろいろ考えて下さいました。
問題の意味は簡明で、解くのは面倒でしたね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は、漸化式の解き方もちょっと浮かびましたが、面倒そうなのでパスしましたが、
貴殿が書いてくれたので、きちんと最後まで解けました。
[解答2]で複素平面を使ったのは単に説明の都合で、
座標で書くより解答説明が大幅に短くなるからです。

ひとりしずか  
No title

絶滅危惧されている貴重な草花なんですネ
透明感のある、ルリ色の可憐な花!
貴重な花を見せていただけてありがとうございます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、透明感のある瑠璃色は綺麗でした。
花の文化園にたくさん咲いていました。