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[答632] 内接する円

ヤドカリ

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[答632] 内接する円


 半径が 5 の定円があり、この円を含む平面内で この円と「内接」の関係にある半径 r の円の

 円周が存在する領域の面積が 24π のとき r=?


[解答1]

 定円の半径を R とします。

 R<r のとき、上左図のように、

  直径が (2r-2R)+2r=2(2r-R) の円の円周および内部で、定円の円周および外部だから、

  領域の面積は π(2r-R)2-πR2=4πr(r-R) です。

 R/2<r<R のとき、上右図のように、

  直径が 2r+2r-2R=2(2r-R) の円の円周および外部で、定円の円周および内部だから、

  領域の面積は πR2-π(2r-R)2=4πr(R-r) です。

 0<r≦R/2 のとき、下図のように、

  直径が 2R-4r=2(R-2r) の円の円周および外部で、定円の円周および内部だから、

  領域の面積は πR2-π(R-2r)2=4πr(R-r) です。

 いずれの場合も 4πr|r-R| です。

 本問では R=5 で面積が 24π だから、 4πr|r-5|=24π 、r|r-5|=6 、r2-5r=±6 、

 r2-5r-6=0,r2-5r+6=0 、(r+1)(r-6)=0,(r-3)(r-2)=0 、

 r>0 だから、r=6,3,2 です。


[解答2]

 定円の中心をC,半径をRとし、

 動円の中心をO,動円の円周上の点をP,動円の円周が存在する領域の面積を S とします。

 |CO-OP|≦CP≦CO+OP だから、Pが存在する範囲の面積は、

 π(CO+OP)2-π|CO-OP|2=π(2CO)(2OP)=4πCO・OP=4π|r-R|r 、

 よって、4π|r-R|r=S 、|r-R|r=S/(4π) 、(|r-R|r)2=(S/4)2

 (r2-Rr)2-{S/(4π)}2=0 、{r2-Rr-S/(4π)}{r2-5r+S/(4π)}=0 、

 r={R±√(R2±S/π)}/2 (複号任意) です。

 本問では R=5,S=24π だから、 r={5±√(25±24)}/2=6,3,2,-1 、

 r>0 だから、r=6,3,2 です。

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Comments 18

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樹☆  
No title

こんばんは
五角形の可愛いお花ですね。。
ルコルソウ・・好きな花です。花ことばのとおり愛らしいですね。

古い人  
No title

此の花も種類の多い花ですね。

今日の花は整形で真っ白もあり綺麗ですね。
ナイス

ひとりしずか  
No title

ルコウソウ白もあるんですネ
見たことないです~
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ルコウソウの白、初めて見ました。
仰る通り、愛らしい花です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
花の形が美しく、色が珍しいので撮りました。
こんなルコウソウもあるのですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ルコウソウの白、私にとっても初見です。
赤のなかに少しだけ咲いていました。

ニリンソウ  
No title

白も咲くんですね
赤と並んでいたら素敵ですね。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「2」は直ぐに、その後「6」に気がつきました。
「3」はこのサイトでなければ、見過ごしておりました。

ここは(埼玉)先ほどから風・雨が強まっています。これから数時間がピークのようです。

アキチャン  
No title

おはようございます。
紅白で、可愛いですね~♪ ナイス!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
面白い問題でした ^^
領域の面積が定円の面積と同じときの半径の比もこの式で出せますね☆
ちなみに...3:4:5 が出てくるようです♪

今日は、こちら岡山方面はすっかりピーカンに回復☀...
日本列島縦断コースみたいですね...^^;...お気をつけ遊ばせ~m(_ _)m~

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
ルコウソに白もあったのですね
初めてみました
小さいけど可愛い花ですね
ナイス♪

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
白も咲くなんて私も知りませんでした。
珍しいものを見られたのは収穫でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答2]のように求めれば、見落としがありませんね。
[解答1]の解法では、間違いないと思いながらも一抹の不安がありました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
同じ県内に上陸した台風の被害はありませんでしたか?
今の時間はもう晴れているのでしょう。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
この問題は、[解答2]のように解いて、全てが自然数になるように、
RとSを設定するのも難しいものです。
本問以外の設定だと、簡単な答になりませんでした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
私にとっても初見でした。
このような珍しいものに出会うと得した気分になります。

こっこちゃん  
No title

こんにちは!(^^)!

こちらも ルコウソウの白 初めて見ました

紅白で 素敵ですね ナイス☆

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントを有難う御座います。
初めて見る白いルコウソウでした。
赤しか見たことがなかった私には「発見」でした。