FC2ブログ

Welcome to my blog

[答633] 三角形の面積の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答633] 三角形の面積の最小値


 AB=√3 で BCが十分長い 長方形ABCDがあり、辺AD上に AP=1 となる点Pをとります。

 辺AB上に点Q,辺BC上に点R をとって、∠QPR=60゚ とするとき、△PQR の 面積の最小値は?


[解答1]

 PからBCにおろした垂線の足をHとし、∠APQ=θ とすれば、∠RPH=|θ+60゚-90゚|=|θ-30゚| ,

 PQ=PA/cosθ=1/cosθ ,PR=PH/cos|θ-30゚|=√3/cos(θ-30゚) だから、

 △PQR=(1/2)・PQ・PR・sin60゚=(3/2)/{2cosθcos(θ-30゚)}=(3/2)/{cos(2θ-30゚)+cos30゚}

  =3/{2cos(2θ-30゚)+√3} となって、

 θ=15゚ のとき 最小値 3/(2+√3)=3(2-√3)=6-3√3 になります。


[解答2]

 複素平面上で P(0),A(-i),B(√3-i),Q(a-i) とすれば、∠QPR=60゚ より、

 点Rを表す複素数は k(1+i√3)(a-i) (ただし k>0) と表されます。

 k(1+i√3)(a-i)=k(a+√3)+ki(-1+a√3) で、実部は √3 だから、k=(√3)/(a+√3) です。

 AQ=a ,QB=√3-a ,BR=k(-1+a√3)+1=(-1+a√3)(√3)/(a+√3)+1=(3a-√3)/(a+√3)+1 、

 △PQR=台形PABR-△PAQ-△QBR=(1+BR)(√3)/2-a/2-(√3-a)BR/2={√3+a(BR-1)}/2

  ={√3+a(3a-√3)/(a+√3)}/2={√3+3a-4√3+12/(a+√3)}/2

  =(3/2){a-√3+4/(a+√3)}=(3/2){a+√3+4/(a+√3)-2√3}

 ここで、相加・相乗平均の関係により、a+√3+4/(a+√3)≧2√{(a+√3)・4/(a+√3)}=4 、

 △PQR≧(3/2)(4-2√3)=6-3√3 、△PQR の最小値は 6-3√3 になります。


[解答3] uch*n*anさんの解法をもとに中学数学で

 PからBCにおろした垂線の足をHとします。 QがAに一致するとき、RはBに一致し、

 QがBに一致するとき、△PQRは正三角形で、BR=2 なので、

 0≦BR≦2 となるように Rをとることになり、 0≦HR≦1 になります。

 HR=HR'>0 となるように、BH上にR,HC上にR' をとれば、PR=PR' で、

 ∠QPR=∠Q'PR'=60゚ になるように AB上に Q,Q' をとれば、

 AQ<AQ' なので、PQ<PQ' 、△PQR<△PQ'R' となるので、△PQRが最小になるのは、

 RをBH上にとるときです。以下、この条件でのRで考察します。

 ∠QPS=90゚ となるように HC上に点Sをとれば、∠HPS=∠APQ=90゚-∠QPH,∠PHS=∠PAQ=90゚ 、

 △PHS∽△PAQ 、PS:PQ=PH:PA=√3:1 、PS=(√3)PQ 、

 ∠RPS=∠QPS-∠QPR=90゚-60゚=30゚ です。

 △PQRで PQを底辺とすれば高さは (√3)PR/2,△PRSで PSを底辺とすれば高さは PR/2 だから、

 △PQR=(1/2)・PQ・(√3)PR/2=(1/2)・(√3)PQ・PR/2=(1/2)・PS・PR/2=△PRS です。

 △PRSの外接円を描けば、弧RSの円周角が 30゚ だから、PR=PS のとき外接円が最小になり、

 従って、RSも最小になり、RSを底辺とする高さPHが一定だから、△PRSも最小です。

 PR=PS のとき、∠PRH=75゚,∠RPH=15゚ で、RHの延長上に HT=(√3)PH=3 となる点Tをとれば、

 ∠TPH=60゚,∠TPR=75゚ だから、RH=TR-TH=TP-TH=2PH-TH=2√3-3 、

 △PRS=2△PRH=PH・RH=(√3)(2√3-3)=6-3√3 になります。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
古い人  
No title

菜の花か女郎花か判り辛いですね。

でも黄色は元気が出ますね。
ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
女郎花が綺麗に咲いていますね
秋の訪れ実感しますね
ナイス♪(^_^)v

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

女郎花が 咲き出し 秋も深まりゆきましたね

こちらも今朝は涼しくなりました ナイス☆

uch*n*an  
No title

この問題は,いろいろと楽しませてもらいました。
私の解法は四つでしたが。
(解法1),(解法4)は,[解答1],[解答2]と等価,ただし(解法4)は座標,
(解法2)は,初等幾何で[解答3]の元になったもの,
(解法3)は,これも初等幾何ですが,相加相乗平均を使うもの,でした。
[解答3]は,大分アレンジされていて,(解法2)よりもスッキリしています。ありがとうございます。
ただ,PQ = PR は変では? ∠RPH = 15°= ∠APQ なので,これはありえないと思います。
ここは,PS = PR のとき,外接円が最小で, RS も最小,だと思います。
単に書き間違いかな? ご検討ください。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
初等幾何による解答3は...解読したいですが...無理かも知れない...^^;
わたしには...解答1しか浮かばず、しかも...和積の公式を調べたり...^^;
また三角関数の威力を思い知らされましたぁ☆...Orz~

アキチャン  
No title

こんばんわ。
女郎花・・・秋のお花が見られるようになりましたね。
それと、春に咲いていたお花がもう一度咲いて、
今、賑やかになってます(o^-^o) ナイス!

ヤドカリ  
No title


写真の花は浜女郎花(ハマオミナエシ)という、
オミナエシ科オミナエシ属の多年草です。
日本固有種、北海道と本州に分布し、海岸に生えます。
分類上は、女郎花(オミナエシ)の変種だそうです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
上に書きましたように、ハマオミナエシです。
ハマナデシコをご存知の貴女でも、
ハマオミナエシは分布が北海道と本州だからご存知なかったのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
上に記しましたように、ハマオミナエシです。
オミナエシとは何か雰囲気が違いますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難う御座います。
九州には分布しないハマオミナエシです。
女郎花と似ていますが、雰囲気は少し違います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
グリーンがかかったビタミンカラーでしょうか。
上に記しましたようにハマオミナエシの花です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
仰る通り、PQ = PR は PS = PR の単なる書き間違いでした。
ご指摘を有難う御座います。
解答が長くなると、どうも集中力が続かないようで、
注意していたつもりですが、やらかしてしまいました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
三角関数の公式を初等幾何的に証明しようとすれば、
加法定理だけでも大変です。
まして、その組み合わせである積和公式・和積公式は尚更です。
それが貴殿の言われる「威力」でしょう。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ハマオミナエシの花です。
オミナエシに似て、やはり秋を感じさせる花ですね。
ナイス!

ニリンソウ  
No title

ハマオミナエシというのも初めて聞きました。
オミナエシとの違いは?
一目では解りずらいですね

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
私の見たところでは、オミナエシの方が茎が細く、
花の集まりが、オミナエシのほうが平らに感じます。

樹☆  
No title

ハマオミナエシというのですか?
ありがとうございます

uch*n*an  
No title

[解答3]の修正をありがとうございます。ただ,
>△PRSの外接円を描けば、弧RSの円周角が 30゚ だから、PQ=PR のとき外接円が最小になり、
ここも,PS = PR では?

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
オミナエシに近いことはすぐ分かりますね。
ハマ○○○ と名前が付いている花も多いものです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、指摘を有難う御座います。
こちらを訂正し忘れていました。お恥ずかしいです。