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[答634] 面積の和が最小

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答634] 面積の和が最小


 長さが一定の針金を2つに分けて2本にし、一方は正六角形に折り、他方は正八角形に折ります。

 こうしてできた正六角形と正八角形の面積の和が最小になるときの

 正六角形の周囲の長さを a,面積を S 、正八角形の周囲の長さを b,面積を T とするとき、

 a/b=? S/T=?


[解答1]

 一般化して、正m角形と正n角形で考えます。

 正m角形の周囲の長さを a とすれば、1辺の長さは a/m だから、

 中心と辺の距離は a/m/2/tan(π/m)=a/{2m・tan(π/m)} になり、

 面積を S とすれば、S=m・(1/2)(a/m)a/{2m・tan(π/m)}=a2/{4m・tan(π/m)} です。

 同様に、正n角形の周囲の長さを b,面積を T とすれば、T=b2/{4n・tan(π/n)} です。

 ここで、a+b=L (一定) とすれば、コーシー・シュワルツの不等式により、

 {m・tan(π/m)+n・tan(π/n)}〔a2/{4m・tan(π/m)}+b2/{4n・tan(π/n)}〕≧(a+b)2 だから、

 {m・tan(π/m)+n・tan(π/n)}(S+T)≧L2 、S+T≧L2/{m・tan(π/m)+n・tan(π/n)} です。

 ここで、等号が成り立つのは、

 m・tan(π/m):n・tan(π/n)=a2/{4m・tan(π/m)}:b2/{4n・tan(π/n)} 、

 a:b=m・tan(π/m):n・tan(π/n) のときで、

 S:T={m・tan(π/m)}2/{4m・tan(π/m)}:{n・tan(π/n)}2/{4n・tan(π/n)}=m・tan(π/m):n・tan(π/n) です。

 よって、a:b=S:T=m・tan(π/m):n・tan(π/n) になります。

 本問の場合 m=6,n=8 で、tan(π/6)=1/√3 ,tan(π/8)=√2-1 だから、

 a:b=S:T=6・tan(π/6):8・tan(π/8)=6/√3:8(√2-1)=√3:4(√2-1)=√3:4/(√2+1) 、

 a/b=S/T=√3/{4/(√2+1)}=√3(√2+1)/4=(√6+√3)/4 です。

☆ m→∞ のとき m・tan(π/m)→π だから、円と正n角形の場合は a:b=S:T=π:n・tan(π/n) です。


[解答2]

 内接円を有する全ての多角形において、(面積)=(1/2)・(周囲の長さ)・(内接円の半径) が成立します。

 内接円を有するn個の多角形において、その面積の総和を S ,周囲の総和を L とし、

 周囲の長さを a1,a2,……,an 、 内接円の半径を r1,r2,……,rn とします。

 L=a1+a2+……+an 、 2S=a1r1+a2r2+……+anrn

 コーシー・シュワルツの不等式により、

 (a1r1+a2r2+……+anrn)(a1/r1+a2/r2+……+an/rn)≧(a1+a2+……+an)2

 2S(a1/r1+a2/r2+……+an/rn)≧L2 になります。

 ここで、a1/r1,a2/r2,……,an/rn は、各多角形の (周囲の長さ)/(内接円の半径) を表し、

 多角形の形によって決まる、各多角形に特有の値になります。

  ☆ 「多角形の形」は、3辺の比が指定された三角形,2辺の比とその間の角が指定された三角形,
   2角が指定された三角形,1内角を指定された菱形など、
   内接円を有し、形が特定される(必ず相似になる)多角形 という意味で使っています。

 また、コーシー・シュワルツの不等式で等号が成り立つのは、

 (a1r1)/(a1/r1)=(a2r2)/(a2/r2)=……=(anrn)/(an/rn) 、 r1=r2=……=rn

 すなわち、全ての内接円の半径が等しいときです。

 このとき、それぞれの多角形の 周囲の長さの比も面積比も等しくなります。

 正n角形においては、(周囲の長さ)/(内接円の半径)=2n・tan(π/n) だから、

 本問の 正六角形と正八角形の場合は、

 2・6・tan(π/6):2・8・tan(π/8)=3tan(π/6):4tan(π/8)=√3:4(√2-1) 、

 比の値は (√3)/{4(√2-1)}=(√3)(√2+1)/4=(√6+√3)/4 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
蕾を正面から観ると変わって見えますね(o^-^o)
おもしろいです。。ナイス!

ニリンソウ  
No title

キレンゲショウマでしたか聞いていても本物は
見たことないです。
今日のはヤマハハコでしょうか。
山の花も文化園で見れるなんていいですね

ナイス

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

色んな 可愛い花を みられるのですね

近頃 散歩すると 可愛い花に癒されますよねナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
今日の花も珍しい花ですね
ライスフラワー。にも似ているようですが良くわかりません
小さくて可愛い花ですねネ
ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
鮮やかで美しい結果ですね☆
あと付けですが...^^;...

同じ長さなら、円が一番面積が小さい...を使って言えないかと考えてましたが...よくわからなかったのですが...
解法を知って意味付けを考えてみました...^^
正n角形の一部を円に変えていくことを考える...
当然、その部分は円弧になる...それを、半円まで続けると...残り半分の正n角形はその半円と同じ半径の円に内接してる場合が最小とわかる...
これは、正6角形の一部を正八角形に変形していくときにもアナロジーでき ?...最初2個の6角形が頂点でくっ付いているとき...片方の一部を正8角形に変形していけば...同様に...最終的には同じ半径の円に接しているときが最小になると想像できそうな...^^♪...Orz~

たけちゃん  
No title

本問は,[534]と同じ発想で解決可能な問題でした.
私もその考え方で解いた(つもりだった)のですが,
つまらないミスをやらかしてしまい,残念無念といったところです.

図形が2つだけなので,次のようにするのが最も素朴かもしれません.
もっとも,係数「(√2+1)/32」を得るのが少しめんどうですが...

針金長を1としてよく,b=1-aであり,
S=(a^2)*(√3)/24,T=(1-a)^2*(√2+1)/32
から,
S+T=((√3)/24+(√2+1)/32)a^2-((√2+1)/16)a+(√2+1)/32.
これは,a=((√2+1)/32)/((√3)/24+(√2+1)/32)のとき最小.
このときb=((√3)/24)/((√3)/24+(√2+1)/32)であり,
a:b=S:T=(√2+1)/32:(√3)/24=(√6+√3):4.

uch*n*an  
No title

時間がなくてあまり考えておらず,パッと見で恐縮ですが,[解答2]の
>ここで、a1/r1,a2/r2,……,an/rn は、各多角形の (周囲の長さ)/(内接円の半径) を表し、
>多角形の形によって決まる、各多角形に特有の値になります。
ここのところがちょっと引っかかります。
確かに多角形の形が決まれば決まりますが,今は L を固定して ak,rk を動かしているので,
多角形の形は相似以上に変化し,ak/rk 及びその和も変化しないのか,という点です。
これが変化してしまうと,L が一定で不等号の等号が成立しても S が最小といっていいのか。
もちろん,この問題のような正多角形という条件の下では形は決まっているので問題ないですが,
[解答2]は一般の多角形で議論しているようなので,気になります。
多分,私の理解不足と思いますが,あまり明らかではないように思うので,説明が必要では?

たけちゃん  
No title

[解答2]の議論は,例えば
「直角二等辺三角形と,正三角形2つを合体したひし形」といった,
『内接円を有する「形が決まった」任意の多角形についてのもの』
と読みました.
形も変化するとなると,問題の定式化が難しそうですね.

ヤドカリ  
No title


写真の花はカワラハハコ(河原母子)です。
花の文化園で見ました。
カワラハハコはキク科ヤマハハコ属の多年草。
頭花は白い花弁状のものに包まれているが、
これは総苞片で、花はその中央に密集し黄色です。
北海道、本州、四国、本州に分布し、
河川敷の礫地、砂地などに群生します。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
かんざし草はもう少し垢抜けていますね。
このカワラハハコはもっと素朴な感じがします。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
河川敷に普通に見られた植物ですが、
河川敷のの改修や帰化植物のために少なくなっているそうです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
真ん中の部分が花で、白いのは総苞片で花ではないそうです。
そういうのも蕾というのかどうか、私には分かりません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
貴女なら四国の剣山に登られる機会があるかも知れません。
夏はキレンゲショウマの群生に出会えるらしいです。
今日の花は、ヤマハハコと同族のカワラハハコです。
ヤマハハコは東海・関西より南には咲かないそうです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
割に地味な植物ですが、いろんな植物に出会えるのは嬉しいものです。
見なれないものに出会えると特に嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難う御座います。
本来は数学の問題や解答だけだと殺風景な記事になるので、
写真を添えるようにしているのですが、
同じ添えるなら珍しいもの、という思いもあります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
直感で「だいたいこうだろう」というのが結構当たることもありますが、
裏付けがあって納得できるのも数学の醍醐味だと思います。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
最初のコメントの2次関数解法がいちばん自然だと思います。
a/b=S/T に重きをおいての解法を載せました。

後のコメントは私の意図した意味を、分かり易く書いて頂き、感謝します。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
曖昧な表現だったかも知れませんので、
貴殿のコメントの次のたけちゃんさんのコメントを参考に、
解答の途中に注釈を入れました。
ご指摘を有難う御座いました。

uch*n*an  
No title

たけちゃんさん,やどかりさん
なるほど,形が決まった範囲で変形を考えるわけですね,それならば問題ないです。
私の理解不足,というより勘違い,で,失礼致しました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
正多角形に限らず、形が決まっていれば同じことだというのが、
うまく表現できなかったと思います。
イメージを言葉にするのは難しいです。