[答635] 数列の無限積

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[答635] 数列の無限積


　a₁＝12，a_n+1＝√(2＋a_n) (n＝1，2，3，……) で表される数列{ a_n }について、

　a₁･a₂･……･a_n/2ⁿ の n→∞ のときの極限値は？


[解答]

　Aを 1より大きい定数とし、x≧0 を定義域として f(x)＝A^x＋A^-x，g(x)＝A^x－A^-x とおけば、

　{f(x/2)}²＝(A^x/2＋A^-x/2)²＝A^x＋2＋A^-x＝f(x)＋2

　f(x)g(x)＝(A^x＋A^-x)(A^x－A^-x)＝A^2x－A^-2x＝g(2x) が成り立ち、　

　f'(x)＝g(x)･logＡ＞0 だから f(x) は単調増加になります。

　ここで、f(1)＝12 とすれば、A＋A^-1＝12 、A＝6＋√35 ，A^-1＝6－√35 ，g(1)＝2√35 です。

　a_n＝f(b_n) (b_n＞0) とおけば、

　a₁＝12 より f(b₁)＝f(1) 、f(x) は単調増加だから、b₁＝1 です。

　漸化式 a_n+1＝√(2＋a_n) より f(b_n+1)＝√{2＋f(b_n)}＝f(b_n/2) 、

　f(x) は単調増加だから、b_n+1＝b_n/2 、数列{ b_n }は公比 1/2 の等比数列になり、b_n＝1/2^n-1 です。

　a₁･a₂･……･a_ng(b_n)＝f(b₁)･f(b₂)･……･f(b_n-1)f(b_n)g(b_n)＝f(b₁)･f(b₂)･……･f(b_n-1)g(b_n-1)

　 ＝……＝f(b₁)g(b₁)＝f(1)g(1)＝24√35 だから、

　a₁･a₂･……･a_n/2ⁿ＝(24√35)/{2ⁿg(b_n)}＝(12√35)b_n/g(b_n) 、

　n→∞ のとき b_n→0 だから、b_n＝x として、

　x→0 のときの (12√35)x/g(x) の極限値を求めることになります。

　g(0)＝0，g'(x)＝f(x)･logＡ だから、g(x)/x＝{g(x)－g(0)}/(x－0) → g'(0)＝f(0)･logＡ＝2･logＡ 、

　(12√35)x/g(x) → (12√35)/(2･logＡ)＝(6√35)/log(6＋√35) です。


☆ －2≦a₁＜2 のときは [413] https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1205.html 。

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