FC2ブログ

Welcome to my blog

[答635] 数列の無限積

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答635] 数列の無限積


 a1=12,an+1=√(2+an) (n=1,2,3,……) で表される数列{ an }について、

 a1・a2・……・an/2n の n→∞ のときの極限値は?


[解答]

 Aを 1より大きい定数とし、x≧0 を定義域として f(x)=Ax+A-x,g(x)=Ax-A-x とおけば、

 {f(x/2)}2=(Ax/2+A-x/2)2=Ax+2+A-x=f(x)+2

 f(x)g(x)=(Ax+A-x)(Ax-A-x)=A2x-A-2x=g(2x) が成り立ち、 

 f'(x)=g(x)・logA>0 だから f(x) は単調増加になります。

 ここで、f(1)=12 とすれば、A+A-1=12 、A=6+√35 ,A-1=6-√35 ,g(1)=2√35 です。

 an=f(bn) (bn>0) とおけば、

 a1=12 より f(b1)=f(1) 、f(x) は単調増加だから、b1=1 です。

 漸化式 an+1=√(2+an) より f(bn+1)=√{2+f(bn)}=f(bn/2) 、

 f(x) は単調増加だから、bn+1=bn/2 、数列{ bn }は公比 1/2 の等比数列になり、bn=1/2n-1 です。

 a1・a2・……・ang(bn)=f(b1)・f(b2)・……・f(bn-1)f(bn)g(bn)=f(b1)・f(b2)・……・f(bn-1)g(bn-1)

  =……=f(b1)g(b1)=f(1)g(1)=24√35 だから、

 a1・a2・……・an/2n=(24√35)/{2ng(bn)}=(12√35)bn/g(bn) 、

 n→∞ のとき bn→0 だから、bn=x として、

 x→0 のときの (12√35)x/g(x) の極限値を求めることになります。

 g(0)=0,g'(x)=f(x)・logA だから、g(x)/x={g(x)-g(0)}/(x-0) → g'(0)=f(0)・logA=2・logA 、

 (12√35)x/g(x) → (12√35)/(2・logA)=(6√35)/log(6+√35) です。


☆ -2≦a1<2 のときは [413] https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1205.html

.

スポンサーサイト



Comments 18

There are no comments yet.
古い人  
No title

今日の花は彼岸花ですね。

黄色がとても鮮やかですね。
白の花もあり赤の花も綺麗ですね。
ナイス。

アキチャン  
No title

おはようございます。
カラフルですね(o^-^o)
彼岸花ではないみたいです。。きれい♪ ナイス!

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

3色 そろい踏みのヒガンバナ 見事な眺めですね

こちらは 早かったので 元気がなくなりつつあります ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
黄色の彼岸花 正式にはショウキズイセンさすね
先日は教えて頂き有り難うございまさした

ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは気付けませんでしたぁ...
もし、
>{f(x/2)}^2=(A^(x/2)+A^(-x/2))^2=A^x+2+A^(-x)=f(x)+2
に気付けたとしても...あとが続かないですわ...^^;;...

わたしは式をいじり...
(a(1))^2*(a(2))^2*…*(a(n))^2=10*12^2*14/(a(n-1)-2)
までは変形できたんですが...
つまり...
a(1))^2*(a(2))^2*…*(a(n)=√(10*12^2*14)/√(a(n-1)-2)

これの極限=24√35/√(a(n-1)-2)とすると...
lim [n→∞]√(a(n-1)-2)/4=log(6+√35)
lim [n→∞] a(n)=(2^2*log(6+√35) )^2+2
になるはずだけど...
lim [n→∞] a(n)=2 のはずだからどこかおかしいのね...^^;...Orz...

tsuyoshik1942  
No title

正攻法では糸口さえつかめませんでした。
しかたなく、近似値と問題番号から答の推測を図ったのですが、問題番号の二重絡みは想定外でした。

類似題があったのですね!勿論そちらも沈没でした。類似題の存在に気がついても、結果は同じだったと思いますが、せめて、そのこと自体には気づきたかったです。

解答説明は勉強させていただきます。ところで、コメントの中で○○○関数なる言葉がありましたが、あれは「LOG関数」ですか?

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
歩道に植えてあるのだと思います。
毎年、この歩道を歩くのが楽しみです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
アスファルトの道路の横に咲いているので彼岸花らしくないですね。
でも、綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴女がヒガンバナをアップされていた頃、
こちらはほんの少ししか咲いていませんでした。
一気に咲きだすのがヒガンバナの特徴ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難う御座います。
ショウキズイセンを初めて見たとき、黄色のヒガンバナとしか思えませんでした。
いずれにしても美しいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
ご理解いただけたでしょうか?
「わたしは式をいじり」の次の行の式が私には理解できません。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
[413]を出題したとき、初期条件を変えていずれ出題しようと思っていた問題でした。
近似値と問題番号からは予想出来ない答でしたね。
なお、「○○○関数」は「双曲線関数」です。

たけちゃん  
No title

この問題は,
双曲線関数cosh x=(e^x+e^(-x))/2, sinh x=(e^x-e^(-x))/2
になじみがないと,けっこう考えにくい問題だと思います.
双曲線関数は,三角関数と類似の表記を持ちますが,性質としても,
cosh^2 x-sinh^2 x=1,sinh(α+β)=sinhαcoshβ+coshαsinhβ
などの三角関数と類似の性質をもっています.
(のみならず,複素関数の立場では,ほとんど同じ関数であったりします)

[解答]は,双曲線関数そのものは表に出していませんが,
f(x)=2cosh(logA),g(x)=2sinh(logA)
であり,双曲線関数の性質を利用したものとも捉えられます.

以下の解も,双曲線関数の知識なしには
「a[n]=t+1/tとおく」発想はきびしく,
また,見方によっては同じこととも言えますが,
一応提示しておきます.

たけちゃん  
No title

a[n]>2なので,a[n]=t+1/tを満たすt(>1)がnごとに存在.
これをt[n]とおく.
a[n+1]=√(2+a[n]) を書き直して,
t[n+1]+1/t[n+1]=√(t[n]+2+1/t[n]) より,
t[n+1]+1/t[n+1]=√t[n]+1/√t[n]
となるから,t[n+1]=√t[n].
よって,t[n]=t[1]^(1/2^(n-1)).

a[1]a[2]…a[n]
=(t[1]+1/t[1])(t[2]+1/t[2])…(t[n]+1/t[n])
を展開すると,
t[n]の奇数乗(-(2^n-1)乗から2^n-1乗まで)の和になる.

たけちゃん  
No title

等比数列の和の公式から,この和は
t[n]^(-(2^n-1))*((t[n]^2)^(2^n)-1)/(t[n]^2-1)
=t[1]^(-2+1/2^(n-1))*(t[1]^4-1)/(t[1]^(1/2^(n-2))-1)
=24√35*t[1]^(1/2^(n-1))/(t[1]^(1/2^(n-2))-1).

a[1]a[2]…a[n]/2^n
=24√35*t[1]^(1/2^(n-1))*(1/4)*(1/2^(n-2))/(t[1]^(1/2^(n-2))-1)
=6√35*t[1]^(1/2^(n-1))*(1/2^(n-2))/(e^((1/2^(n-2))log t[1])
→6√35/log t[1] (n→∞)
=6√35/log(6+√35).

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、詳しい解答を有難う御座います。
単に表記上の問題ですが、
指数のような上付き文字や添え字のような下付き文字を
解答に書くのにHTMLタグを使っています。
そのため、指数にさらに指数がつくとお手上げです。
かといって、双曲線関数を表に出すと
その説明もどの程度書けばいいのかも迷うところで、
結局、上に示した[解答]になりました。

樹☆  
No title

歩道に彼岸花が・・咲く場所でイメージが変わって
きます。。元気をもらえるような気がします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
彼岸花が歩道の端に植えられて綺麗に咲いていました。
ここの道をこの時期に通る時の楽しみです。