[答635] 数列の無限積
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[答635] 数列の無限積
a1=12,an+1=√(2+an) (n=1,2,3,……) で表される数列{ an }について、
a1・a2・……・an/2n の n→∞ のときの極限値は?
[解答]
Aを 1より大きい定数とし、x≧0 を定義域として f(x)=Ax+A-x,g(x)=Ax-A-x とおけば、
{f(x/2)}2=(Ax/2+A-x/2)2=Ax+2+A-x=f(x)+2
f(x)g(x)=(Ax+A-x)(Ax-A-x)=A2x-A-2x=g(2x) が成り立ち、
f'(x)=g(x)・logA>0 だから f(x) は単調増加になります。
ここで、f(1)=12 とすれば、A+A-1=12 、A=6+√35 ,A-1=6-√35 ,g(1)=2√35 です。
an=f(bn) (bn>0) とおけば、
a1=12 より f(b1)=f(1) 、f(x) は単調増加だから、b1=1 です。
漸化式 an+1=√(2+an) より f(bn+1)=√{2+f(bn)}=f(bn/2) 、
f(x) は単調増加だから、bn+1=bn/2 、数列{ bn }は公比 1/2 の等比数列になり、bn=1/2n-1 です。
a1・a2・……・ang(bn)=f(b1)・f(b2)・……・f(bn-1)f(bn)g(bn)=f(b1)・f(b2)・……・f(bn-1)g(bn-1)
=……=f(b1)g(b1)=f(1)g(1)=24√35 だから、
a1・a2・……・an/2n=(24√35)/{2ng(bn)}=(12√35)bn/g(bn) 、
n→∞ のとき bn→0 だから、bn=x として、
x→0 のときの (12√35)x/g(x) の極限値を求めることになります。
g(0)=0,g'(x)=f(x)・logA だから、g(x)/x={g(x)-g(0)}/(x-0) → g'(0)=f(0)・logA=2・logA 、
(12√35)x/g(x) → (12√35)/(2・logA)=(6√35)/log(6+√35) です。
☆ -2≦a1<2 のときは [413] https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1205.html 。
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