[答636] 対角線の長さの平均

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[答636] 対角線の長さの平均


　直径が 1 の正ｎ角形の対角線全部の長さの平均を f(n) とします。 n→∞ のときの f(n)の極限は？


[解答1]

　簡単のために π/n＝θ とします。

　１つの頂点を固定し、他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とすれば、

　L＝sin2θ＋sin3θ＋sin4θ＋……＋sin(n－4)θ＋sin(n－3)θ＋sin(n－2)θ 、

　2sinαsinβ＝cos(α－β)－cos(α＋β) だから、

　2Lsinθ＝cosθ－cos3θ＋cos2θ－cos4θ＋cos3θ－cos5θ＋……
　 ＋cos(n－5)θ－cos(n－3)θ＋cos(n－4)θ－cos(n－2)θ＋cos(n－3)θ－cos(n－1)θ

　 ＝cosθ＋cos2θ－cos(n－2)θ－cos(n－1)θ＝2(cosθ＋cos2θ) 、

　L＝(cosθ＋cos2θ)/sinθ 、

　f(n)＝L/(n－3)＝(cosθ＋cos2θ)/{(n－3)sinθ}＝(cosθ＋cos2θ)/{π(sinθ)/θ－3sinθ} 、

　n→∞ のとき θ→0 ，(sinθ)/θ→1 だから、f(n)→2/π です。

☆ 2Lsin(θ/2) を求めても極限の計算ができます。


[解答2]

　１つの頂点を固定し、他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とし、

　Σを k＝1 から k＝n の和とすれば、

　L＝sin(2π/n)＋sin(3π/n)＋……＋{sin(n－2)π/n}

　 ＝Σsin(kπ/n)－sin(π/n)－{sin(n－1)π/n}－sinπ＝Σsin(kπ/n)－2sin(π/n)

　f(n)＝L/(n－3)＝{1/(n－3)}Σsin(kπ/n)－{2/(n－3)}sin(π/n)

　 ＝{n/(n－3)}(1/n)Σsin(kπ/n)－{2/(n－3)}sin(π/n)

　n→∞ のとき

　n/(n－3)→1 ，(1/n)Σsin(kπ/n)→∫₀¹ sin(πx)dx ，{2/(n－3)}sin(π/n)→0 だから、

　f(n)→∫₀¹ sin(πx)dx＝－(1/π)[cos(πx)]₀¹＝2/π です。


[解答3]

　頂点を P，P₁，P₂，……，P_n-1 とし、PP₁＝a，PP₂＝b とすれば、

　k＝2，3，……，n－2 として、四角形PP_k-1P_kP_k+1 において、トレミーの定理より、

　P_k-1P_k+1･PP_k＝P_kP_k+1･PP_k-1＋P_k-1P_k･PP_k+1 、b･PP_k＝a･PP_k-1＋a･PP_k+1 、

　k＝2，3，……，n－2 として、加えれば、

　b(PP₂＋PP₃＋……＋PP_n-2)＝a(PP₁＋PP₂＋……＋PP_n-3)＋a(PP₃＋PP₄＋……＋PP_n-1) 、

　Pと他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とすれば、

　bL＝a(PP₁＋L－PP_n-2)＋a(－PP₂＋L＋PP_n-1) 、

　bL＝a(a＋L－b)＋a(－b＋L＋a) 、L＝2a(b－a)/(2a－b) になります。

　ここで、θ＝π/n とすれば、a＝sinθ，b＝sin2θ＝2sinθcosθ だから、

　L＝2sinθ(2sinθcosθ－sinθ)/(2sinθ－2sinθcosθ)＝sinθ(2cosθ－1)/(1－cosθ)

　 ＝sinθ(2cosθ－1)(1＋cosθ)/{(1－cosθ)(1＋cosθ)}＝(2cosθ－1)(1＋cosθ)/sinθ 、

　f(n)＝L/(n－3)＝(2cosθ－1)(1＋cosθ)/{(n－3)sinθ}＝(2cosθ－1)(1＋cosθ)/{(π/θ－3)sinθ} 、

　n→∞ のとき θ→0 ，(sinθ)/θ→1 だから、f(n)→2/π です。


[参考]

　大雑把に、以下のように考えると、答だけは分かります。

　２つの頂点を結ぶ線分(辺と対角線)に対して、辺の割合は n/{n(n－1)/2}＝2/(n－1) だから、

　n→∞ のとき (辺の割合)→0 、２つの頂点を結ぶ線分の長さの平均と考えても構いません。

　n→∞ のとき 正ｎ角形は円に近づくので、直径が 1 の円の弦の長さ sinθ の平均です。

　∫₀^π sinθdθ＝2 ，∫₀^π 1dθ＝π だから、

　平均は 2/π です。

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