[答636] 対角線の長さの平均
'
[答636] 対角線の長さの平均
直径が 1 の正n角形の対角線全部の長さの平均を f(n) とします。 n→∞ のときの f(n)の極限は?
[解答1]
簡単のために π/n=θ とします。
1つの頂点を固定し、他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とすれば、
L=sin2θ+sin3θ+sin4θ+……+sin(n-4)θ+sin(n-3)θ+sin(n-2)θ 、
2sinαsinβ=cos(α-β)-cos(α+β) だから、
2Lsinθ=cosθ-cos3θ+cos2θ-cos4θ+cos3θ-cos5θ+……
+cos(n-5)θ-cos(n-3)θ+cos(n-4)θ-cos(n-2)θ+cos(n-3)θ-cos(n-1)θ
=cosθ+cos2θ-cos(n-2)θ-cos(n-1)θ=2(cosθ+cos2θ) 、
L=(cosθ+cos2θ)/sinθ 、
f(n)=L/(n-3)=(cosθ+cos2θ)/{(n-3)sinθ}=(cosθ+cos2θ)/{π(sinθ)/θ-3sinθ} 、
n→∞ のとき θ→0 ,(sinθ)/θ→1 だから、f(n)→2/π です。
☆ 2Lsin(θ/2) を求めても極限の計算ができます。
[解答2]
1つの頂点を固定し、他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とし、
Σを k=1 から k=n の和とすれば、
L=sin(2π/n)+sin(3π/n)+……+{sin(n-2)π/n}
=Σsin(kπ/n)-sin(π/n)-{sin(n-1)π/n}-sinπ=Σsin(kπ/n)-2sin(π/n)
f(n)=L/(n-3)={1/(n-3)}Σsin(kπ/n)-{2/(n-3)}sin(π/n)
={n/(n-3)}(1/n)Σsin(kπ/n)-{2/(n-3)}sin(π/n)
n→∞ のとき
n/(n-3)→1 ,(1/n)Σsin(kπ/n)→∫01 sin(πx)dx ,{2/(n-3)}sin(π/n)→0 だから、
f(n)→∫01 sin(πx)dx=-(1/π)[cos(πx)]01=2/π です。
[解答3]
頂点を P,P1,P2,……,Pn-1 とし、PP1=a,PP2=b とすれば、
k=2,3,……,n-2 として、四角形PPk-1PkPk+1 において、トレミーの定理より、
Pk-1Pk+1・PPk=PkPk+1・PPk-1+Pk-1Pk・PPk+1 、b・PPk=a・PPk-1+a・PPk+1 、
k=2,3,……,n-2 として、加えれば、
b(PP2+PP3+……+PPn-2)=a(PP1+PP2+……+PPn-3)+a(PP3+PP4+……+PPn-1) 、
Pと他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とすれば、
bL=a(PP1+L-PPn-2)+a(-PP2+L+PPn-1) 、
bL=a(a+L-b)+a(-b+L+a) 、L=2a(b-a)/(2a-b) になります。
ここで、θ=π/n とすれば、a=sinθ,b=sin2θ=2sinθcosθ だから、
L=2sinθ(2sinθcosθ-sinθ)/(2sinθ-2sinθcosθ)=sinθ(2cosθ-1)/(1-cosθ)
=sinθ(2cosθ-1)(1+cosθ)/{(1-cosθ)(1+cosθ)}=(2cosθ-1)(1+cosθ)/sinθ 、
f(n)=L/(n-3)=(2cosθ-1)(1+cosθ)/{(n-3)sinθ}=(2cosθ-1)(1+cosθ)/{(π/θ-3)sinθ} 、
n→∞ のとき θ→0 ,(sinθ)/θ→1 だから、f(n)→2/π です。
[参考]
大雑把に、以下のように考えると、答だけは分かります。
2つの頂点を結ぶ線分(辺と対角線)に対して、辺の割合は n/{n(n-1)/2}=2/(n-1) だから、
n→∞ のとき (辺の割合)→0 、2つの頂点を結ぶ線分の長さの平均と考えても構いません。
n→∞ のとき 正n角形は円に近づくので、直径が 1 の円の弦の長さ sinθ の平均です。
∫0π sinθdθ=2 ,∫0π 1dθ=π だから、
平均は 2/π です。
.