FC2ブログ

Welcome to my blog

[答636] 対角線の長さの平均

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答636] 対角線の長さの平均


 直径が 1 の正n角形の対角線全部の長さの平均を f(n) とします。 n→∞ のときの f(n)の極限は?


[解答1]

 簡単のために π/n=θ とします。

 1つの頂点を固定し、他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とすれば、

 L=sin2θ+sin3θ+sin4θ+……+sin(n-4)θ+sin(n-3)θ+sin(n-2)θ 、

 2sinαsinβ=cos(α-β)-cos(α+β) だから、

 2Lsinθ=cosθ-cos3θ+cos2θ-cos4θ+cos3θ-cos5θ+……
  +cos(n-5)θ-cos(n-3)θ+cos(n-4)θ-cos(n-2)θ+cos(n-3)θ-cos(n-1)θ

  =cosθ+cos2θ-cos(n-2)θ-cos(n-1)θ=2(cosθ+cos2θ) 、

 L=(cosθ+cos2θ)/sinθ 、

 f(n)=L/(n-3)=(cosθ+cos2θ)/{(n-3)sinθ}=(cosθ+cos2θ)/{π(sinθ)/θ-3sinθ} 、

 n→∞ のとき θ→0 ,(sinθ)/θ→1 だから、f(n)→2/π です。

☆ 2Lsin(θ/2) を求めても極限の計算ができます。


[解答2]

 1つの頂点を固定し、他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とし、

 Σを k=1 から k=n の和とすれば、

 L=sin(2π/n)+sin(3π/n)+……+{sin(n-2)π/n}

  =Σsin(kπ/n)-sin(π/n)-{sin(n-1)π/n}-sinπ=Σsin(kπ/n)-2sin(π/n)

 f(n)=L/(n-3)={1/(n-3)}Σsin(kπ/n)-{2/(n-3)}sin(π/n)

  ={n/(n-3)}(1/n)Σsin(kπ/n)-{2/(n-3)}sin(π/n)

 n→∞ のとき

 n/(n-3)→1 ,(1/n)Σsin(kπ/n)→∫01 sin(πx)dx ,{2/(n-3)}sin(π/n)→0 だから、

 f(n)→∫01 sin(πx)dx=-(1/π)[cos(πx)]01=2/π です。


[解答3]

 頂点を P,P1,P2,……,Pn-1 とし、PP1=a,PP2=b とすれば、

 k=2,3,……,n-2 として、四角形PPk-1PkPk+1 において、トレミーの定理より、

 Pk-1Pk+1・PPk=PkPk+1・PPk-1+Pk-1Pk・PPk+1 、b・PPk=a・PPk-1+a・PPk+1

 k=2,3,……,n-2 として、加えれば、

 b(PP2+PP3+……+PPn-2)=a(PP1+PP2+……+PPn-3)+a(PP3+PP4+……+PPn-1) 、

 Pと他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とすれば、

 bL=a(PP1+L-PPn-2)+a(-PP2+L+PPn-1) 、

 bL=a(a+L-b)+a(-b+L+a) 、L=2a(b-a)/(2a-b) になります。

 ここで、θ=π/n とすれば、a=sinθ,b=sin2θ=2sinθcosθ だから、

 L=2sinθ(2sinθcosθ-sinθ)/(2sinθ-2sinθcosθ)=sinθ(2cosθ-1)/(1-cosθ)

  =sinθ(2cosθ-1)(1+cosθ)/{(1-cosθ)(1+cosθ)}=(2cosθ-1)(1+cosθ)/sinθ 、

 f(n)=L/(n-3)=(2cosθ-1)(1+cosθ)/{(n-3)sinθ}=(2cosθ-1)(1+cosθ)/{(π/θ-3)sinθ} 、

 n→∞ のとき θ→0 ,(sinθ)/θ→1 だから、f(n)→2/π です。


[参考]

 大雑把に、以下のように考えると、答だけは分かります。

 2つの頂点を結ぶ線分(辺と対角線)に対して、辺の割合は n/{n(n-1)/2}=2/(n-1) だから、

 n→∞ のとき (辺の割合)→0 、2つの頂点を結ぶ線分の長さの平均と考えても構いません。

 n→∞ のとき 正n角形は円に近づくので、直径が 1 の円の弦の長さ sinθ の平均です。

 ∫0π sinθdθ=2 ,∫0π 1dθ=π だから、

 平均は 2/π です。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
ブルーバタフライ(クレロデンドラム)の花に似ていますね
長い蕊が可愛いですね
ナイス♪

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

ブルーで 可愛い花ですね
芯が ずいぶん長くて 見応えある 花ですね ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

きちんとした式は立てられなかったのですが、例によって、近似値から答を見つけました。
正攻法で手に負えない時、この手法で答を見つけることは、邪道ですが、自分には楽しい作業です。
もっとも、この時、並行して、前題に取り組んでいましたが、そちらは玉砕しました。

uch*n*an  
No title

これは,[635]と違っていろいろと考えられる楽しい問題でした。
私の解法は三つで,[解答1],[解答2],[参考]でした。
[解答3]は面白いですね。初等幾何ベースで,こんなこともできるのか。
トレミーの定理が使えるのも面白いし,L が a,b だけで書けるのも意外でした。
まぁ,言われてみれば,[解答1]の結果から予想できるわけですが,気付かなかった。
勉強になりました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これはよくわからず...調べて ^^;
解答2のような積分で出せることを知りました Orz~
参考のところが咀嚼できてなかったりします...^^;;...

ゆうこ つれづれ日記  
No title

形が面白く
色が素敵なお花ですね。
私のところでは見たことのないお花です。
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

カリガネソウどこで見つけましたか?
秋らしい山野草そろそろ咲く頃ですね
きっちり撮れています

ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
ブルー色に斑が入って綺麗ですね(o^-^o)ナイス!

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、カリガネソウです。
蕊の長さが特徴的ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
カリガネソウをよくご存知ですね。
特徴的な蕊が印象に残ります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難う御座います。
カリガネソウです。
日本の他、中国・朝鮮半島に自生するそうです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
蕊が長くて湾曲しているのが特徴的です。
これで、昆虫の背中に花粉がつくそうです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
その手法は本問では通用するかも知れませんが、
流石に前問は無理でしょう。
ただ、どんな方法でも楽しんで頂ければ嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
実は[解答3]が作問の出発点です。
数値を求める問題にするために、
sin(π/n),cos(π/n) がうまく求まるnは簡単な数しかないので、
∞にしました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
積分は極限を求めるときにも役立ちます。
[参考]の部分は、ふと分かることがあればいいですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
写真の花はカリガネソウです。
北海道とは植生が違うので見られたことがなくても当然、
此方で見られない花をいろいろ見せて頂いています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
これも花の文化園に咲いています。
ここには野草を集めた一角があり、いつも一番に訪れます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
光の加減でブルーですが、ちょっと紫がかって見えました。
模様より蕊が目立ちました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
意味がわかりました...☆
[参考]の前半は...正n角形の辺の長さは n→∞ のとき、0 になるから...
ある1点からの弦の長さの平均を考えればいいということでしたのね ^^
さいしょ...わたしもその方向で考えてたんですが...式が間違ってたことに気付きましたぁ...^^;...Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
分かる時はスッと入ってくるものですね。
よかったです。