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[答639] 解の3乗を解とする方程式

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答639] 解の3乗を解とする方程式


 3次方程式 x3+3x+2=0 の解を x=α,β,γ とするとき、

 3次方程式 x3+px2+qx+8=0 の解が x=α3,β3,γ3 となるように、係数 p,q を定めれば、(p,q)=?


[解答1]

 解と係数の関係により、α+β+γ=0,βγ+γα+αβ=3,αβγ=-2 になります。

 α3+β3+γ3=(α+β+γ)3-3(α+β+γ)(βγ+γα+αβ)+3αβγ=-6 、

 β3γ3+γ3α3+α3β3

  =(βγ+γα+αβ)3-3(βγ+γα+αβ)αβγ(α+β+γ)+3α2β2γ2=39 、

 α3β3γ3=(αβγ)3=-8 、

 よって、x=α3,β3,γ3 を解とする3次方程式は x3+6x2+39x+8=0 、(p,q)=(6,39) です。


[解答2]

 x=α は x3+3x+2=0 の解だから、α3+3α+2=0 、α3+2=-3α 、

 3乗して、α9+6α6+12α3+8=-27α3 、α9+6α6+36α3+8=0 、

 よって、x=α3 は x3+6x2+39x+8=0 の解になります。

 同様に x=β3,x=γ3 もこの方程式の解になります。

 f(x)=x3+3x+2 とおけば、f'(x)=3x2+3>0 だから、

 α,β,γ の1つは実数,他の2つは共役な複素数(虚数)ですので、互いに異なります。

 また、β3+3β+2=γ3+3γ+2=0 より、β3-γ3=3(γ-β) 、

 β≠γ より β3≠γ3 、同様に、γ3≠α3 ,α3≠β3

 互いに異なる α3,β3,γ3 が x3+6x2+39x+8=0 の解になるので、(p,q)=(6,39) です。

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Comments 20

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
此方ではフジバカマはよく見ますが、アサギマダラは滅多に見られません。
アサギマダラの翅の色は美しくて好きです。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
貴殿のコメントを拝見し、[参考]はやはり[解答2]の中に書くべきだと思い、
書き換えました。
[解答2]は計算は簡単ですが、きちんと書くと面倒ですね。
貴殿の折衷案も有力ですが、なぜこのように書くのかは、
説明がないと、意図が見えてこないです。

スモークマンさんへのコメントも有難うございました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
フジバカマからは秋の雰囲気が漂いますが、日中の暑さはまだ夏ですね。
花を見ると確実に季節は進んでいます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰るとおり、日中はまだまだ暑いですね。
フジバカマの薄いピンクには秋を感じます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答2]は答えを求めるには簡単ですが、きちんと記述すると面倒です。
この考え方は他の問題でも使えます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
フジバカマはよく見かけるようになりました。
其方ではアサギマダラもよく見られるようで、羨ましいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、度々のコメントを有難う御座います。
簡単な例で、2次方程式ですが、
x²-x=0 に x=1,x=1 と2回代入しても両方とも成り立ちますが、
x²-x=0 の解が x=1,1 だと言えないですね。
x²-x=0 に x=0,x=1 を代入してどちらも成り立ちますので、
x²-x=0 の解が x=0,1 だと言えます。
代入する値が異なるという条件が必要なのです。

たけちゃん  
No title

>貴殿の折衷案も有力ですが、なぜこのように書くのかは、
>説明がないと、意図が見えてこないです。

ありがとうございます.
自分の解答は,客観視がなかなか難しいですね.

1行目にでも,
「条件より,(t-α)(t-β)(t-γ)=t^3+3t+2はtの恒等式である.」
としておく方が意図が通じやすいでしょうか.

uch*n*an  
No title

う~んと,たけちゃんさんの指摘はもっともで,
3乗したものが異なることのチェックを解答に追加するのは悪くないですが,
実は,この解答,というか式変形,に関しては不要ではないか,と思います。
理由は簡単で,この式変形では余分な解が紛れ込むことがないからです。
可能性があるのは,同値変形を崩している所で,3乗する所,3乗を置き換える所です。
実際,x^3 + 2 = -3x -> (x^3 + 2)^3 = (-3x)^3 に対して,
(x^3 + 2)^3 = (-3x)^3 -> x^3 + 2 = -3x,x^3 + 2 = -3xω,x^3 + 2 = -3xω^2
と,他の解が紛れ込んでいます。

uch*n*an  
No title

しかし,
x^3 + 2 = -3xω は,(xω)^3 + 2 = -3(xω) と書けるので,解は αω^2,βω^2,γω^2
x^3 + 2 = -3xω^2 は,(xω^2)^3 + 2 = -3(xω^2) と書けるので,解は αω,βω,γω
となり,紛れ込んだ解も3乗すれば α^3,β^3,γ^3 になります。
ここで重要なのは,この三つであって,例えば 1,2,2 ならばそれ自体であって,
違う値や,1,1,2 など他の組み合わせになることはない,ということです。そこで,
(x^3 + 2)^3 = (-3x)^3,(x^3)^3 + 6(x^3)^2 + 39(x^3) + 8 = 0
において,x^3 -> x と置き換えると,紛れ込んだ解の違いは吸収され,同値性が回復し,
x^3 + 6x^2 + 39x + 8 = 0
は正しい答えを与えることになります。
これは,この式変形が同値性を保っているからいえることです。

uch*n*an  
No title

一つ例を示しましょう。
x^3 - 1 = 0 を考えます。解は 1,ω,ω^2 で異なっています。
しかし,3乗したものはすべて 1 です。
同値の式変形
x^3 - 1 = 0,(x^3 - 1)^3 = 0^3,x^9 - 3x^6 + 3x^3 - 1 = 0 -> x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0
x = 1 だけを与えます。しかし,
同値でない式変形
x^3 - 1 = 0,x^3 = 1,(x^3)^3 = 1^3,x^9 = 1,x^9 - 1 = 0 -> x^3 - 1 = 0
x = 1,ω,ω^2 を与えます。

uch*n*an  
No title

結局のところ,[解答2]の式変形は同値性を保っているので,
3乗したものが異なることのチェックを解答に追加する必要はないだろう,ということです。
ただし,[解答2]の書き方は単に3乗したものを代入してチェックしているだけに読めてしまうので,
その意味では,ちょっと問題かな,とは思いますが。
どうなんでしょうか?

たけちゃん  
No title

uch*n*anさん,詳しい議論をありがとうございます.

「同値性」を前面に出した解説をいただきましたが,
「同値」とは「必要十分条件」の同義語であることに鑑みて言えば,
「x=1またはx=1またはx=2」は「x=1またはx=2またはx=2」と『同値』であり,
>例えば 1,2,2 ならばそれ自体であって,
>違う値や,1,1,2 など他の組み合わせになることはない
というのは同値性で議論するのは難しいのではないでしょうか.
(曲解であれば教えてもらえるとありがたいです.)

たけちゃん  
No title

私はむしろ,ポイントは
「紛れ込んだ他の解はαω,αω^2,βω,βω^2,γω,γω^2である」
というところにあるように思いました.

つまり,x^3+2=-3xの解α,β,γに対して,
(x^3+2)^3=(-3x)^3は,差を因数分解して,
((x^3+2+3x)((xω)^3+2+3xω)((xω^2)^3+2+3xω^2)=0 …[*]
となります.(ここでも,「同値」という言い方では不完全だと思います.)
よって,その9解は
x=α,β,γ,α/ω,β/ω,γ/ω,α/(ω^2),β/(ω^2),γ/(ω^2)
すなわち
x=α,αω,αω^2,β,βω,βω^2,γ,γω,γω^2
となり,[*]の左辺は
(x^3-α^3)(x^3-β^3)(x^3-γ^3) と因数分解し直せることになって,
x^9+6x^6+39x^3+8=(x^3-α^3)(x^3-β^3)(x^3-γ^3) を得るので,
x^3+6x^2+39x+8=0が正しい答となることがわかります.

たけちゃん  
No title

もともと,(元の)[解答2]が不適切であると指摘したつもりはなかったのですが,
>[解答1]では,『3解がα^3,β^3,γ^3である』方程式を構成しているので,
>(*)を示す必要がないというメリットがあります.
と筆がすべったせいで,
「解答2では(*)を示す必要がある」と読める文章になってしまいました.
言いたかったのは,
「[参考]が意味をもつ」「(*)を示しておく方が安心だ」
の方だったのですが,少し過激になってしまいましたか...
どうも失礼しました.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、uch*n*anさん、議論を有難うございます。
α³,β³,γ³ が解であることを調べるだけでは、
答案として減点されても文句を言えないと思って書き換えました。
確かに他の解が紛れ込むことはありませんが、
そのことの説得力のある説明の方が面倒です。
私もたけちゃんさんのコメントの「安心」な形というか、
無難な解答にしました。

uch*n*an  
No title

たけちゃんさん
私の議論のポイントは,少し違った形で再現しておられる式変形が可能で,
α^3,β^3,γ^3 以外のものが紛れ込むことはないから,
α^3,β^3,γ^3 が異なることを言わなくとも十分だろう,ということです。
したがって,意図は十分に伝わっていると思います。

uch*n*an  
No title

同値性に関しては,
>「x=1またはx=1またはx=2」は「x=1またはx=2またはx=2」と『同値』であり,
集合としては確かにそうですが,今は3次方程式の解の構造を議論しているので,
それらを与える,(x - 1)^2(x - 2) = 0 と (x - 1)(x - 2)^2 = 0 とを議論すべきであって,
この二つの式が単純な式変形では移り合わないことが重要です。
移り合う場合を「同値な式変形」と呼んだのですが,少し不適切な表現であったかも知れません。
ここらをきちんとやろうと思うと,まず,「単純な式変形」を定義する必要があるでしょう。
多分,数学的には反対に,まず解の構造を変えない式変形を定義して,
[解答2]の式変形がそれに合致していることを示す方がいいかも知れません。
まぁ,さすがにそこまでやるつもりはありませんが (^^;

uch*n*an  
No title

やどかりさんへ
>確かに他の解が紛れ込むことはありませんが、
はい,個人的にはこれは明らかだと思っていたので,
どうしてわざわざ面倒な議論をするのか不思議になって,確認も兼ねてコメントしました。
>私もたけちゃんさんのコメントの「安心」な形というか、
>無難な解答にしました。
はい,[解答2]の代入して確認している感じの記述からすると,確かにこの方が無難ですね。
しかし,そうなってくると[解答2]の簡潔さが大分失われてしまいますね。
高校生などには[解答1]の方がお勧めかな。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、再々のコメントを有難う御座います。有難うございます。
> そうなってくると[解答2]の簡潔さが大分失われてしまいますね。
その簡潔さの喪失がいちばん不本意なところですが、
後ろ指をさされない書き方にしました。
答案を読む人が「明らか」と判断してくれる保証がありませんので……。
α³+3α+2=0 と x=α³ から α を消去して答えを求めておいて、
答案は[解答1]でしょうか。