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[答640] 回転体の表面積

ヤドカリ

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[答640] 回転体の表面積


 極方程式 r=10(1+cosθ) で表される曲線を始線の周りに回転させてできる立体の表面積 S は?


[解答]

 r=10(1+cosθ) より r'=-10sinθ 、

 r2+(r')2=100(1+2cosθ+cos2θ+sin2θ)=200(1+cosθ) 、

 S=2π∫0π r(sinθ)√{r2+(r')2}dθ

  =2π∫0π 10(1+cosθ)(sinθ)√{200(1+cosθ)}dθ

  =400π∫0π (1+cosθ)(sinθ)√{(1+cosθ)/2}dθ

  =400π∫0π {2cos2(θ/2)}{2sin(θ/2)cos(θ/2)}cos(θ/2)dθ

  =1600π∫0π cos4(θ/2)sin(θ/2)dθ

  =1600π・(-2/5)[cos5(θ/2)]0π=640π です。


[参考] 回転体の表面積の求め方

 円錐台の側面積は台形の面積と同様、

 (底面の円周の和)・(母線の長さ)/2=π・(底面の半径の和)・(母線の長さ) です。

 媒介変数 t で表された y≧0 である曲線上において、

 Δt>0 として、t ,t+Δt のときの座標を P(x,y),Q(x+Δx,y+Δy) とすれば、

 線分PQを x軸の周りに回転してできる面積は、

 π(y+y+Δy)√{(Δx)2+(Δy)2}=π(2y+Δy)√{(Δx/Δt)2+(Δy/Δt)2}・Δt 、

 t=a から t=b まで変化するときの回転面の面積は、

 ab 2πy√{(dx/dt)2+(dy/dt)2}・dt です。

 極座標においては媒介変数をθとして、x=r・cosθ,y=r・sinθ とすればよいので、

 (dx/dθ)2+(dy/dθ)2={(dr/dθ)cosθ-r・sinθ}2+{(dr/dθ)sinθ+r・cosθ}2=r2+(dr/dθ)2

 θ=a から θ=b まで変化するときの回転面の面積は、

 2π∫ab (r・sinθ)√{r2+(dr/dθ)2}・dθ です。

 直接、極座標で、 r・sinθ≧0 である曲線上において、

 Δθ>0 として、θ ,θ+Δθ のときの座標を P(r,θ),Q(r+Δr,θ+Δθ) とすれば、

 PQ2=r2+(r+Δr)2-2r(r+Δr)cosΔθ=r2+(r+Δr)2-2r(r+Δr){1-2sin2(Δθ/2)}

  =(Δr)2+4r(r+Δr)sin2(Δθ/2)=〔(Δr/Δθ)2+r(r+Δr){sin2(Δθ/2)}/(Δθ/2)2〕(Δθ)2Δθ 、

 線分PQを x軸の周りに回転してできる面積は、

 π{r・sinθ+(r+Δr)sin(θ+Δθ)}√〔(Δr/Δθ)2+r(r+Δr){sin2(Δθ/2)}/(Δθ/2)2〕Δθ 、

 θ=a から θ=b まで変化するときの回転面の面積は、

 2π∫ab (r・sinθ)|√{(dr/dθ)2+r2}・dθ です。

.

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Comments 16

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはよう!
つゆ草の双子ですかー仲がいいですね
夏が終えてもこの花の鮮やかな青は褪せることなしですね

ナイス

古い人  
No title

今日の花はツユクサですね。

秋が深まり紫の色が一段とさえて来ましたね。
ナイス。

樹☆  
No title

わぁ^^かわいい。。
ツユクサ大好きです。。

少しお休みしてたから・・今日あたり。。ナイスです

アキチャン  
No title

おはようございます。
ツユクサ、朝露を感じます。。さわやかですね(o^-^o)
ナイス!

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

ツユクサの 双子ちゃん 滅多にないですよね

この色 見ると 霞目が スッキリしました (笑) ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
露草の花 散歩道で良く見かけます
ブルーの色が大好きな花です

花はミッキーに似ているように思えます

ナイス♪

tsuyoshik1942  
No title

近似値から答を推量しました。
得られた近似値そのものに自信が持てなかったので、それをπで除したら問題番号「640」が出てきたときは、大変うれしかったです。

最近、基本的な積分・微分はなんとかなるようになったのですが、本題は、解答を読ませていただきましたが、追いきれません。
ただ、自分の近似値計算手法は、「参考」に記されている
>π(y+y+Δy)√{(Δx)2+(Δy)2}
この部分をパソコンに計算させたもののようです。

たけちゃん  
No title

展開図の作れない曲面について,その面積の定義自体,なかなか難しいです.
パラメーター表示された曲線の長さなら,パラメーターをt(時刻)と見て,
速度ベクトルの大きさの積分として,意味は比較的容易に理解できますが,
曲面の面積は,なかなか理解できなかったような(かすかな)記憶があります.

回転体に限定すれば,
曲線長をl,(線密度が一定としたときの)曲線の重心の,回転軸との距離をd
とすると,回転体の面積は,(重心の軌跡長)*(曲線長),すなわち 2πd・l
として計算できると思います.
ある意味,パップス・ギュルダンの定理みたいなものですね.

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
私は貴女と違って、白のツユクサを見たことがありませんが、
青色が鮮やかに見えたので撮りたくなりました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ツユクサは長いあいだ咲いています。
色鮮やかに見える今の時期に撮りたくなりました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
オオイヌノフグリとともに青い花として真っ先に思い浮かべる花です。
目が覚めるような青でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ツユクサに露は似合いますね。
あおんな環境ではなかったのですが、そう思わせる色でした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
たくさん咲いていた中にうまく並んで咲いていたのを撮りました。
スッキリする青い色ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難う御座います。
貴女もよく見かける花ですか?
道端に何気なく咲くのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
喜びが伝わってくるコメントですね。
簡単に解くには公式を覚えておくのが一番です。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
曲線の長さなら、私も説明には、速度ベクトルの大きさの積分を使います。
回転体については、重心が明らかな場合は、真っ先にパップス・ギュルダンを考えますが、
「重心」がなかなか厄介ですね。