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[答644] ベクトルの大きさ

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答644] ベクトルの大きさ


 太字はベクトルを表すものとします。

 平面上のベクトル ab について、|2a+3b|=2 ,|ab|=1 のとき、

 |4a+9b| の最大値は? また、最小値は?


[解答1]

 2a+3b=2uabv とすれば、|u|=|v|=1 で、

 5a=2u+3v ,5b=2u-2v 、 5(4a+9b)=4(2u+3v)+9(2u-2v)=26u-6v

 よって、|4a+9b|=|26u-6v|/5 、ここで |u|=|v|=1 に注意して、 

 最大値は |26+6|/5=32/5=6.4 、最小値は |26-6|/5=4 です。

 なお、

 最大になるのは、v=-uab=-(2a+3b)/2 、b=-4a のとき、

 最小になるのは、vuab=(2a+3b)/2 、b0 のときです。


[解答2] uch*n*anさんのコメントを参考に

 abc とすれば、|c|=1 で、

 |2a+3b|=2 より |2c+5b|=2 、|b-(-2c/5)|=2/5 、

 また、|4a+9b|=|4c+13b|=13|b-(-4c/13)| です。

 O(0),C(c),D(-2c/5),E(-4c/13) とおけば、

 C,O,E,D がこの順に一直線上にあり、OC=1,OE=4/13,OD=2/5,DE=2/5-4/13=6/65 で、

 BD=2/5 より、BはDを中心とする半径が 2/5 の円周上にあります。

 このとき、13BE の最大値・最小値を求めることになり、

 最大値は 13(2/5+6/65)=32/5=6.4 、最小値は 13(2/5-6/65)=4 です。


[解答3] ab のまま解く解法

 簡単のため、ab=k とおきます。

 |ab|=1 より |ab|2=1 、|a|2-2k+|b|2=1 、

 |2a+3b|=2 より |2a+3b|2=4 、4|a|2+12k+9|b|2=4 、

 この2式より、|a|2=6k+1 ,|b|2=-4k になります。

 また、 (ab)2≦|a|2|b|2 だから、k2≦(6k+1)(-4k) 、25k2+4k≦0 、-4/25≦k≦0 です。

 |4a+9b|2=16|a|2+72k+81|b|2=16(6k+1)+72k+81(-4k)=16-156k 、

 -4/25≦k≦0 より、16-156(-4/25)≧16-156k≧16 、1024/25≧|4a+9b|2≧16 、32/5≧|4a+9b|≧4 、

 最大値は 32/5,最小値は 4 になります。

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Comments 16

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樹☆  
No title

わぁ~いっぱい咲いてる~
なんだっけ・・名前。。
蜂さんも嬉しいでしょうね^^

古い人  
No title

今日の花はノコンギクに良く似ていますね。

此の時期良く目に付くブルー系の綺麗な花ですね。
名前ははっきり判りませんが良く似ています。
ナイス。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花はシオンです。薄紫の花がたくさん咲いていました。
この花も秋を感じる花です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
この時期よく見るシオンの花です。
この秋も何回も見ましたが、いちばん多く見たときの写真です。

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

ブルーデ 群生の シオン素敵な眺めですね

ブルーデ 涼しさ頂きました ナイス☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
いつもこの頃の小菊をみると、学校で覚えた歌が口にでます(o^-^o)
♪かわいい こぎく~ うすむらさきよ~♪

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
わたしゃ...極単純に...|4a+9b|<=|4a|+|9b| だから...(三角不等式)...
等号は...a.b が一直線上のときであり、それが存在すればいいので...
b=t*a と置いて、求めましたが...^^;
[解答3]は面白いですね♪

[問題646]...いまだ解けず...^^;;...

uch*n*an  
No title

この問題は,どうも最初から何か勘違いをして考え方の方向性が少しずれてしまったようで,
最後までそれから抜け切れずに大分遠回りをしてしまいました。
私の解法は六つ。
(解法1)は成分を使ったもの。
(解法2)~(解法4)は図形的なもので,(解法3)が[解答2]に一番近かそうなのですが,
c を使わなかったので少し複雑になっています。
(解法5)は逆に[解答2]を式だけで表現したような解法ですが,図形的にはできませんでした。
(解法6)は[解答3]と等価ですが,|a| の式にもっていったせいか若干複雑です。
[解答1]は思い付きませんでした。一次変換の応用という感じもあって面白いですね。
なお,スモークマンさんのは,[解答3]の図形的解釈とも考えられ,面白いと思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ブルーというか薄紫のシオンの群生です。
よく見られる花ですが、群生していると見事です。

ヤドカリ  
No title

アイチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
♪かわいい こぎく~ うすむらさきよ~♪
という歌は知りませんが、まさに可愛い小菊ですね。

tsuyoshik1942  
No title

ベクトルに不如意のため、二次平面に置き換え考えました。
答は、解き求めたとは言えず、探し当てました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
||4a|-|9b||≦|4a+9b|≦|4a|+|9b| で、
どちらの等号も a//b のとき または 片方が 0 のときですね。
b=ta とおけばうまくいきますが、a=tb とおいてもうまくいきません。
ちょっと微妙な問題を含みます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
私の想定解は[解答1]でした。
単純に解けるのでそれ以外は考えておりませんでしたが、
貴殿のコメントを見て、置き換えずに解いたのが[解答3]です。
簡単に解けてしまって、他の解答を考えられなくなっていました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
平面ベクトルでなく、複素数としても同じです。
まずは複素平面で考えて頂ければ面白かったかも知れません。

スモークマン  
No title

やどかりさんへ ^^
たしかに...^^;
b=ta は...b=0 の場合は...条件より|a| は0になり得ないので...t=0 となり、aは不定となりますね...つまり...
b=0 と、そうでないときと場合分けが必要になるんですね...Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントを有難う御座います。
a=0 だと2つの条件が矛盾するので、a≠0 ですね。