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[答645] 三角形の垂心と頂点の距離

ヤドカリ

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[答645] 三角形の垂心と頂点の距離


 BC:CA:AB=6:4:5 の △ABC の垂心を H とします。 AH=1 のとき BH=? また、CH=?


[解答1]

 AからBC,BからCA,CからAB におろした垂線の足をそれぞれ D,E,F とします。

 また、∠CAB=α,∠ABC=β,∠BCA=γ とします。

 △AHE∽△BHD より AH:BH=AE:BD=ABcosα:ABcosβ=cosα:cosβ 、

 同様に、△BHF∽△CHE より BH:CH=cosβ:cosγ になります。

 AH:BH:CH=cosα:cosβ:cosγ=(42+52-62)/(2・4・5):(52+62-42)/(2・5・6):(62+42-52)/(2・6・4)

  =1/8:3/4:9/16=1:6:9/2 、BH=6 ,CH=4.5 です。


[解答2]

 BC=6k,CA=4k,AB=5k とし、AHの延長とBCの交点をD とします。

 AD2=AB2-BD2=AC2-CD2 、 AB2-AC2=BD2-CD2=(BD+CD)(BD-CD) 、

 25k2-16k2=6k(BD-CD) 、BD-CD=3k/2 、BD+CD=6k と併せ、

 BD=15k/4 ,CD=9k/4 、AD=√(AB2-BD2)=(5√7)k/4 です。

 中右図のように、△HBD∽△CAD より、HB:CA=BD:AD=DH:DC 、HB:4k=15k/4:(5√7)k/4=DH:9k/4 、

 HB=12k/√7 ,DH=27k/(4√7) になり、

 また、△HCD∽△BAD より、HC:BA=CD:AD=DH:DB 、HC:5k=9k/4:(5√7)k/4=DH:15k/4 、

 HC=9k/√7 (,DH=27k/(4√7) ) になります。

 AH=AD-DH=(5√7)k/4-27k/(4√7)=2k/√7=1 だから、k=(√7)/2 になって、

 HB=12k/√7=6 ,HC=9k/√7=9/2=4.5 です。


[解答3]

 BC=6k,CA=4k,AB=5k,△ABC の面積をS,外接円の半径をR とします。

 (6k+4k+5k)/2=15k/2 だから、ヘロンの公式により、

 S=√{(15k/2)(15k/2-6k)(15k/2-4k)(15k/2-5k)}=√{(15k/2)(3k/2)(7k/2)(5k/2)}=(15k2/4)√7 、

 4RS=6k・4k・5k より R=6k・4k・5k/(15k2√7)=8k/√7 です。

 下図のように、△ABCの頂点を通り、対辺と平行な直線3本でできる三角形を△LMNとすれば、

 △ABC∽△LMN で、相似比は 1:2 だから、△LMNの外接円の半径は 2R=16k/√7 です。

 △AHN,△BHL,△CHM において三平方の定理により、

 AH2=(2R)2-(6k)2=256k2/7-36k2=4k2/7 、

 BH2=(2R)2-(4k)2=256k2/7-16k2=144k2/7 、

 CH2=(2R)2-(5k)2=256k2/7-25k2=81k2/7 、

 AH2:BH2:CH2=4:144:81 、 AH:BH:CH=2:12:9=1:6:4.5 、 BH=6 ,CH=4.5 です。

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Comments 12

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樹☆  
No title

おはようございます。
今日はわたしの好きな白です。
花びら・・不揃いですがふっくらと可愛いと
思います。。

アキチャン  
No title

おはようございます。
いつも、色違いが出てくるので、比べられます(o^-^o)
白いお花はやっぱりいいです♪

ニリンソウ  
No title

白がやっぱり人気のようですね
私も好きですよ。
台風26号影響はなかったのですね。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」の関係はきれいですね!これは、知る人は知る事柄ですか?
このサイトでも、前に教えをいただいたような気がしてきましたが、残っておりませんでした。

自分は、最初は解答2の前半部分で、そこからAB⊥CHからDHを求めました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
たしかに、[解答1]はスマートね☆
わたしゃ...なぜか...というかいつものように...
3個の解答のミックスみたいなことで...^^;...Orz~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
白い花は清潔感があるのですが、秋明菊はふっくらして優しい感じがします。
秋風に揺れる姿もいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴女も白い花がお好きなようですね。
仰るように、色違いの花があればなるべく近い日にアップしています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
コスモスもそうですが、秋明菊も白やピンクが風に揺れる姿がいいですね。
台風については、昨日の夕方から風雨が強くなりましたが、朝には止んでいました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
[367] http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/28729824.html
に、逆バージョンの問題がありました。
[367]は直接的でしたが、この問題は 三角比を避けて解けます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
[解答3]を思いついて作問しましたが、残念ながら、
[解答3]を寄せてくれた方はいませんでした。

スモークマン  
No title

やどかりさんへ ^^
[解答3]の図は頭をよぎりましたが...気付けませんでしたです...^^;...
外心が2Rでそれが△の面積Sで表せることなどのことを自家薬籠中にされてる貴殿ならではだからだと☆
言われてみると自然な(=奇麗な)解法ですね♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
仰るとおり、[解答3]も自然な解法だと思います。
△LMNの重心が△ABCの重心と一致しますので、オイラー線が明らかです。