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[答646] 整数または有限小数

ヤドカリ

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[答646] 整数または有限小数


 16桁以下の自然数 n のうち、1/n が整数または有限小数であるものの個数は?


 なお、2k の桁数は [k・log102]+1 で表されますが、

 0.3<log102<0.30103 だから、k≦97 であれば、 0<k・log102-0.3k<0.00103k≦0.09991<0.1 となって、

 k が 97以下の自然数であれば、2k の桁数は [0.3k]+1 で表されます。


[解答]

 文字をすべて自然数とします。

 k≦97 のとき、2k は [0.3k]+1 桁の数です。

 また、2k・5k=10k が (k+1)桁の数だから、 5k の桁数は (k+1)-([0.3k]+1)=k-[0.3k] です。

 m≦16 の範囲で、

 m 桁以下で 2k で表される自然数の個数は

 [0.3k]+1≦m 、[0.3k]≦m-1 、0.3k<m 、k<10m/3 、k<3m+m/3 で、

 m≦16 のとき明らかに k≦97 だから、3m+[(m-1)/3] 個です。

 m 桁以下で 5k で表される自然数の個数は

 k-[0.3k]≦m 、[0.3k]≧k-m 、0.3k≧k-m 、k≦10m/7 、k≦m+3m/7 で、

 k≦16 のとき明らかに m≦97 だから、m+[3m/7] 個です。

 m 桁以下で 1 または 2k または 5k で表される自然数の個数を f(m) とすれば、

 f(m)=1+3m+[(m-1)/3]+m+[3m/7]=1+4m+[(m-1)/3]+[3m/7] です。

 1/n が整数または有限小数である自然数 n は、

 1 または 2k または 5k で表される自然数と、

 その末尾に任意の個数の 0 をつけたものだから、求める個数は f(16)+f(15)+……+f(1) です。

 m=1,2,3,……,16 に対して、

  [(m-1)/3]=0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5 、その和は 35 、

  [3m/7]=0,0,1,1,2,2,3,3,3,4,4,5,5,6,6,6 、その和は 51 、

 よって、1+4m+[(m-1)/3]+[3m/7] の和は、16+4・16(16+1)/2+35+51=646 です。

 ちなみに、

 f(1)=5,f(2)=9,f(3)=14,f(4)=19,f(5)=24,f(6)=28,f(7)=34,f(8)=38,f(9)=42,

 f(10)=48,f(11)=52,f(12)=57,f(13)=62,f(14)=67,f(15)=71,f(16)=76 です。

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Comments 12

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樹☆  
No title

おはようございます。。
ホトトギスがいっぱい。。斑点が面白いですね。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
考え方の流れは同じだったのですが...桁数の求め方がよくわかりませんでした...^^;;...で...バカげた計算を繰り返して...^^...目が(も? ^^;)また少し悪くなったよう...熟読玩味ぃ~☆

ニリンソウ  
No title

ホトトギスがどっさりですね
斑のあるほうがホトトギスらしいですね

ナイス

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ホトトギス、ぎっしりと綺麗ですね(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

題意を解するのに小考、n=2^p*5^q に長考、数え上げるのに数分。
題意を解したあとの第一感は、答はバカデカイ数と思いました。
数え上げていくうちに、あれ!「646」そのものなんだ!と感心しました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私は人混みは気持ちが悪くなるので嫌いですが、
花が密集して咲いているのは大好きです。
たくさん咲いていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
桁数の求め方は定番ですが、2の累乗の桁が分かれば、
5の累乗の桁が分かるのがポイントです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
たくさんのホトトギスが咲いていました。
斑のあるほうがホトトギスらしいし、よく分かりますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ギッシリ咲いたホトトギスもいいですね。
もちろん、少し咲いているのも風情があります。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この答えを求めると、有理数の殆どは循環小数であることが分かります。
この結果が、想定通りか意外か、貴殿は後者だったようですね。

ひとりしずか  
No title

すごい花数!賑やか~
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ホトトギスがぎっしり咲いていました。