[答646] 整数または有限小数
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[答646] 整数または有限小数
16桁以下の自然数 n のうち、1/n が整数または有限小数であるものの個数は?
なお、2k の桁数は [k・log102]+1 で表されますが、
0.3<log102<0.30103 だから、k≦97 であれば、 0<k・log102-0.3k<0.00103k≦0.09991<0.1 となって、
k が 97以下の自然数であれば、2k の桁数は [0.3k]+1 で表されます。
[解答]
文字をすべて自然数とします。
k≦97 のとき、2k は [0.3k]+1 桁の数です。
また、2k・5k=10k が (k+1)桁の数だから、 5k の桁数は (k+1)-([0.3k]+1)=k-[0.3k] です。
m≦16 の範囲で、
m 桁以下で 2k で表される自然数の個数は
[0.3k]+1≦m 、[0.3k]≦m-1 、0.3k<m 、k<10m/3 、k<3m+m/3 で、
m≦16 のとき明らかに k≦97 だから、3m+[(m-1)/3] 個です。
m 桁以下で 5k で表される自然数の個数は
k-[0.3k]≦m 、[0.3k]≧k-m 、0.3k≧k-m 、k≦10m/7 、k≦m+3m/7 で、
k≦16 のとき明らかに m≦97 だから、m+[3m/7] 個です。
m 桁以下で 1 または 2k または 5k で表される自然数の個数を f(m) とすれば、
f(m)=1+3m+[(m-1)/3]+m+[3m/7]=1+4m+[(m-1)/3]+[3m/7] です。
1/n が整数または有限小数である自然数 n は、
1 または 2k または 5k で表される自然数と、
その末尾に任意の個数の 0 をつけたものだから、求める個数は f(16)+f(15)+……+f(1) です。
m=1,2,3,……,16 に対して、
[(m-1)/3]=0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5 、その和は 35 、
[3m/7]=0,0,1,1,2,2,3,3,3,4,4,5,5,6,6,6 、その和は 51 、
よって、1+4m+[(m-1)/3]+[3m/7] の和は、16+4・16(16+1)/2+35+51=646 です。
ちなみに、
f(1)=5,f(2)=9,f(3)=14,f(4)=19,f(5)=24,f(6)=28,f(7)=34,f(8)=38,f(9)=42,
f(10)=48,f(11)=52,f(12)=57,f(13)=62,f(14)=67,f(15)=71,f(16)=76 です。
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