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[答647] 5本の線分の長さの和

ヤドカリ

ヤドカリ



[答647] 5本の線分の長さの和


 図のように半径が1の円周を5等分し、A,B,C,D,E とします。また、円周上に点Pをとります。

 このとき、PA+PB+PC+PD+PE の最大値は?


[解答1]

 点Pを弧AE上にとっても一般性を失いません。

 四角形ABEP ,四角形ACEP ,四角形ADEP において、トレミーの定理より、

 AB・PE+BE・PA=AE・PB ,AC・PE+CE・PA=AE・PC ,AD・PE+DE・PA=AE・PD です。

 ここで、AB=AE=DE=x ,BE=AC=CE=AD=y とすれば、

 xPE+yPA=xPB ……(1) ,yPE+yPA=xPC ……(2) ,yPE+xPA=xPD ……(3) になります。

 (1)+(3)-(2) より、x(PE+PA)=x(PB+PD-PC) 、PA+PC+PE=PB+PD です。

 よって、PA+PB+PC+PD+PE=2(PB+PD) です。

 ここで、∠BOP=α,∠POD=β とすれば、∠BOP=144゚ だから、α+β=216゚ です。

 また、PB=2sin(α/2) ,PD=2sin(β/2) だから、

 PA+PB+PC+PD+PE=2(PB+PD)=4{sin(α/2)+sin(β/2)}=8sin{(α+β)/4}cos{(α-β)/4}

  =8sin54゚cos{(α-β)/4}=2(1+√5)cos{(α-β)/4}

 となって、α=β のとき 最大値 2(1+√5) になります。


[解答2]

 点Pを弧AE上にとっても一般性を失いません。

 ここで、EA=CD=BC=x ,CE=AC=BD=y とすれば、y/x=(√5+1)/2 ,x/y=(√5-1)/2 です。

 四角形PACE ,四角形PBCD において、トレミーの定理より、

 PA・CE+PE・AC=PC・EA ,PB・CD+PD・BC=PC・BD 、PA+PE=(x/y)PC ,PB+PD=(y/x)PC 、

 よって、PA+PB+PC+PD+PE=(x/y+y/x+1)PC=(√5+1)PC です。

 ここで、PC の最大値は PC が直径のときで、PA+PB+PC+PD+PE=2(√5+1) です。


[参考] uch*n*anさんのコメントより

 円周の n 等分した点であれば、直径/sin(π/2n) になります。

 私も確かめました。

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

きれいな緑色ですね~
なんという花ですか?
ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます。
すてきな色あいです。さわやかな気持ちにしてくれます。
なんのお花だろ。。

アキチャン  
No title

おはようございます。
葉っぱのようなお花♪ ほんと、さわやか(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

なんだろうね~
山で咲く「オトコエシ」みたいな感じです

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
トレミーの定理ってのは有効ね☆
わたしは...最大のときはα=βと同値であることを示し、あとは...
直径*(cos36°+cos72°)*2+直径 として計算しました...^^;v
一般式☆の導出を考えてみたいと思います...Orz~

tsuyoshik1942  
No title

トレミーの定理の適用に思い至りませんでした。
しかも、最初の解答送信は、「P点は真ん中」とした勝手読みに基づく計算結果です。

一般式の結果もきれいですね!そもそも、「一般化してみたら?」と言う発想が浮かびませんでした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花はオトコエシです。
オミナエシと違って白いですので、全体的に薄緑色に見えました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
オトコエシです。
ご覧になったことがあるかもしれませんが、この株はよく育っていて、立派でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
よく成長していて全体的に薄緑色でした。
こんな色もいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
仰るとおり、オトコエシです。
オミナエシと違って見ることは少ないのですが、堂々としていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
円のたくさんの弦の長さを話題にしていれば、トレミーの定理が有効です。
三角関数で解けることも多いのですが、計算を少なくできることも多いです。

ヤドカリ  
No title

> tsuyoshik1942様
鍵コメの解答、正解です
トレミーの定理で、PA+PC+PE=PB+PD に気づき、作問しました。
円の弦にはまだまだ知らない性質が隠れているのでしょうね。

樹☆  
No title

オトコエシでしたか。。。^^
こんなきれいなの初めて♡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
はい、立派なオトコエシでしたぁ~。