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[答648] 3種類の数字からなる数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答648] 3種類の数字からなる数


 n桁の自然数のうち、3種類の数字で表されるものの個数を f(n) とします。

 このとき、f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),…… の最大公約数は?


[解答1]

 明らかに f(1)=f(2)=0 、

 3桁以上の場合、首位の数字をa,a以外の最初の数字をb,aとb以外の数字をcとすれば、

 3桁では abc の形だけで、

 4桁では aabc,abac,abca,abbc,abcb,abcc の6通りの形があり、

 5桁以上の場合はもっとたくさんありますが、

 a の決め方は 0 以外の9通り、b の決め方は a 以外の9通り、c の決め方は a,b 以外の8通りで、

 いずれの形においても 9・9・8=648 通りずつ考えられるので、 f(n) は 648 の倍数になります。

 f(3)=648 だから、 f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),…… の最大公約数は 648 になります。


[解答2]

 3種類の数字に 0 が含まれないとき、これを a,b,c とします。

 重複を許して n 個を並べる方法は 3n 通り、

 このうち、b,c の2種類の数字だけを並べる方法は 1種類の数字だけものを除いて 2n-2 通り、

 c,a の2種類だけ,a,b の2種類の数字だけの場合も同数、

 また、1種類の数字だけを並べる方法は 3 通りだから、

 a,b,c 全てを使うものは、3n-3(2n-2)-3=3n-3・2n+3 通りです。

 3種類の数字に 0 が含まれるとき、これを d,e,0 とします。

 先頭が 0 でないという条件で、重複を許して n 個を並べる方法は 2・3n-1 通り、

 このうち、d,e の2種類の数字だけを並べる方法は 1種類の数字だけものを除いて 2n-2 通り、

 d,0 の2種類の数字だけを並べる方法は 1種類の数字だけものを除いて 2n-1-1 通り、

 e,0 の2種類の数字だけの場合も同数、

 また、1種類の数字だけを並べる方法は 2 通りだから、

 a,b,0 全てを使うものは、2・3n-1-(2n-2)-2(2n-1-1)-2=2・3n-1-2n+1+2 通りです。

 次に、数字 a,b,c の選び方は 93=84 通り、数字 d,e,0 の選び方は 92=36 通りだから、

 f(n)=84(3n-3・2n+3)+36(2・3n-1-2n+1+2)=252(3n-1-2n+1)+72(3n-1-2n+1)=324(3n-1-2n+1)

  =648{(3n-1+1)/2-2n-1} は 648 の倍数になり、

 f(3)=648 だから、 f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),…… の最大公約数は 648 になります。

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Comments 19

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再出発  
No title

たどり着けてよかったぁ。
[解答1]なるほどです。

ひとりしずか  
No title

夏から秋まで長い間、紅色が色あせないことから
乾燥させても千日以上(3年以上)色あせないことから・・・。
(ドライフラワーもよく見ます)と・・
名前の由来2つあるようですね・・
こんなに群生していて~
ナイス☆

わたしは近所の庭で
キバナセンニチコウ(ストロベリー・フィールズ)を
数輪見れただけです。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
最初、[解答1]のような感じで考えたのですがきちんとわからず...^^;
発想を変えて...
f(n)a(n)+b(n)...1~9までのもの:a(n)、先頭が0でない残りが0~9 までのもの:b(n) とすると...
f(4) はa(3)の後ろにその前の3種類のどれかを付け加え、
b(3)の後ろにその前の3種類のどれかを付け加えたものの和だから...
f(4)=3(a(3)+b(3))=3^1*f(3)
同様に...f(n)=3^1*f(n-1)=3^2*f(n-2)=...=3^(n-3)*f(3)
だから...
最大公約数は...f(3)
f(3)=9*9*8=81*8=648

としましたが...一般式と同値の式になってるのかなぁ...^^;...?
Orz~

ニリンソウ  
No title

千日紅はホントに千日も咲くかと思うほどです。
背景に光を入れて可愛らしさが上手く撮れましたね

ナイス

たけちゃん  
No title

スモークマンさんの数え方では,例えば1223はカウントされていませんね.
桁数が1だけ小さい場合を元に考えるとすれば,次のような感じでしょうか.

n桁で,数字が3種類のものの個数をA[n],2種類のものの個数をB[n],
1種類のものの個数をC[n]とすると,明らかにC[n]=9であり,A[1]=B[1]=0,
A[n+1]=3A[n]+8B[n],B[n+1]=2B[n]+9C[n]です.
これより,C[n]はすべて9(=C[1])の倍数,B[n]はすべて9*9(=B[2])の倍数,
A[n]はすべて9*9*8(=A[3])の倍数となりますね.

スモークマン  
No title

>たけちゃんさんへ
そっか...抜けてますね...^^;
わかりやすい解説ありがとうございました Orz~
わたしゃたまたま当たったってことでしたぁ...めんご~m(_ _);m~

tsuyoshik1942  
No title

最初、「0」に対する考え方に手惑いました。
「解答1」で答を確信後、f(n)の一般解を試みました。
結果として、同じ式にたどり着きましたが、[解答2」のような、理詰めでのゴールは成りませんでした。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
単色と違って、2色も良いですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

再出発さん、早速のコメントを有難う御座います。
ご苦労されて導き出された答えには値打ちがありますね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
此方ではたくさんのセンニチコウが咲いています。
ただ、同じ色がたくさん咲いている場所は少ないです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
たけちゃんさんのおかげで解決されたようで、よかったです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
光が当たって、千日紅が普段より綺麗に見えましたので撮りました。
意識せずに撮ったのですが、光が際立ちました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
スモークマンさんの疑問に答えていただき、私がコメントする必要がなくなり、
感謝しています。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
[解答1]だけで答としては十分ですが、何個あるかを求めてみたくなる気持ちもあります。
0が絡むだけに計算は少し面倒ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
センニチコウにも何色かありますね。
それぞれに美しいと思います。

樹☆  
No title

わぁ~可愛い♬
センニチコウがこんなにたくさん。。うれしくなりますね♬
光と色のコラボがすてきです^^

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
センニチコウは花期が長いのでずいぶん前から見ていますが、
今になってたくさん咲いていますので、撮ってみました。

ひとりしずか  
No title

白くぼかしの入った品種なんですね~
きれいです~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
光の加減もあって、輝いており、撮りたくなりました。