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[答649] 三角形の箱の容積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答649] 三角形の箱の容積


 図のように3辺が 6,8,10 の三角形の紙の隅を切り取り、点線の部分を折り曲げて、

 ふたのない箱を作ります。 このとき、できる箱の容積Vの最大値は?

 折り曲げる部分(長方形)の幅は3ヶ所とも等しく、この幅が箱の深さになります。


[解答]

 3辺が 6,8,10 の三角形の内接円の半径は (6+8-10)/2=2 です。

 できる箱の深さを x とすれば、底の三角形の内接円の半径は 2-x です。

 従って、もとの三角形と底の三角形の相似比は 2:(2-x) で、面積比は 4:(2-x)2 です。

 もとの三角形の面積は 6・8/2=24 だから、底の三角形の面積は 24・(2-x)2/4=6(2-x)2

 V=6(2-x)2x です。

 ここで、相加・相乗平均の関係により、

 3√{(2-x)2・2x}≦{(2-x)+(2-x)+2x}/3=4/3 、 (2-x)2・2x≦64/27 、V≦64/9 です。

 等号が成立するのは 2-x=2x 、x=2/3 のときです。

 まとめれば、深さが 2/3 のとき 容積は最大値 64/9 をとります。


[参考]

 もとの三角形の面積を S,内接円の半径を r とし、できる箱の深さを x とすれば、

 もとの三角形と底の三角形の相似比は r:(r-x) で、面積比は r2:(r-x)2 です。 

 V={S(r-x)2/r2}x=S(r-x)2x/r2 で、

 相加・相乗平均の関係により、3√{(r-x)2・2x}≦{(r-x)+(r-x)+2x}/3=2r/3 、

 (r-x)2・2x≦8r3/27 、(r-x)2x≦4r3/27 、 V≦S(4r3/27)/r2=4Sr/27 で、

 等号は r-x=2x すなわち x=r/3 のときに成り立ちます。

 従って、最大値は 4Sr/27 で、本問では、4・24・2/27=64/9 です。

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Comments 13

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樹☆  
No title

おはようございます。
明るいビタミンカラーで・・ビビッと可愛いです^^
なんのお花でしょう。

ニリンソウ  
No title

キイジョウロウホトトギス(ユリ科)
でいいでしょうか!
実は本物見たことないんですけど
こんな花が山で咲くのかな

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答」すっきり!ですね。自分は
深さxと他の2隅の切り巾の比を、直角三角形の内心を求める構図から推し測りました。
それなりに、工夫が出来たと、自分では悦に入っていたのですが、愕然です。
また、最初、最大値は微分で捉えました。その後、
ヤドカリさんの他の方へのリコメに触発され、不等式の取り入れおよび一般解を試みました。
元の式が、[解答のそれ」とは異なり、複雑なため手間を取りました。
なお、私事ですが、来週一杯、休ませていただきます。

アキチャン  
No title

おはようございます。
黄色いのもあるのですね!
なんともいい色ですね(o^-^o)

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

ニリンソウさんが 花の名前書いてられますね

びたみんからーで 可愛い花ですね ナイス☆

ヤドカリ  
No title


写真の植物は
キイジョウロウホトトギス(紀伊上臈杜鵑草)です。
花の文化園で見ました。
上臈とは、年功を積んだ僧・身分の高い人・
大奥の最上位の職名 のことで、
「高級な」「貴婦人のような」という意味です。
花弁の内側に鳥のホトトギスに似た斑点があります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
黄色で可愛い花だと思います。
他のホトトギスとずいぶん感じが違いますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
よくご存知ですね。貴女の知識の広さに驚きです。
この花は名前通り、和歌山県に多いそうで、保護されているようです。
和歌山城にも植えられているそうですよ。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
問題作りもそうですが、解答もできるだけスッキリを目指しています。
ところで、来週は休養ですか?
天気の良い日が続くそうですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
普通のホトトギスとは種類が違いますが、同じユリ科の花です。
仰るとおり、いい色です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
上にも説明を入れました。
ビタミンのように人を元気づける花ですね。

ひとりしずか  
No title

葉がホトトギスに似てると思いましたが~
紀伊がつくということは、こちらでは無い花かなぁ~
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
此方でもなかなか見られません。
和歌山県で自生し、保護されているそうです。