[答649] 三角形の箱の容積
[答649] 三角形の箱の容積
図のように3辺が 6,8,10 の三角形の紙の隅を切り取り、点線の部分を折り曲げて、
ふたのない箱を作ります。 このとき、できる箱の容積Vの最大値は?
折り曲げる部分(長方形)の幅は3ヶ所とも等しく、この幅が箱の深さになります。
[解答]
3辺が 6,8,10 の三角形の内接円の半径は (6+8-10)/2=2 です。
できる箱の深さを x とすれば、底の三角形の内接円の半径は 2-x です。
従って、もとの三角形と底の三角形の相似比は 2:(2-x) で、面積比は 4:(2-x)2 です。
もとの三角形の面積は 6・8/2=24 だから、底の三角形の面積は 24・(2-x)2/4=6(2-x)2 、
V=6(2-x)2x です。
ここで、相加・相乗平均の関係により、
3√{(2-x)2・2x}≦{(2-x)+(2-x)+2x}/3=4/3 、 (2-x)2・2x≦64/27 、V≦64/9 です。
等号が成立するのは 2-x=2x 、x=2/3 のときです。
まとめれば、深さが 2/3 のとき 容積は最大値 64/9 をとります。
[参考]
もとの三角形の面積を S,内接円の半径を r とし、できる箱の深さを x とすれば、
もとの三角形と底の三角形の相似比は r:(r-x) で、面積比は r2:(r-x)2 です。
V={S(r-x)2/r2}x=S(r-x)2x/r2 で、
相加・相乗平均の関係により、3√{(r-x)2・2x}≦{(r-x)+(r-x)+2x}/3=2r/3 、
(r-x)2・2x≦8r3/27 、(r-x)2x≦4r3/27 、 V≦S(4r3/27)/r2=4Sr/27 で、
等号は r-x=2x すなわち x=r/3 のときに成り立ちます。
従って、最大値は 4Sr/27 で、本問では、4・24・2/27=64/9 です。
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