[答649] 三角形の箱の容積

[答649] 三角形の箱の容積


　図のように３辺が 6，8，10 の三角形の紙の隅を切り取り、点線の部分を折り曲げて、

　ふたのない箱を作ります。 このとき、できる箱の容積Vの最大値は？

　折り曲げる部分(長方形)の幅は３ヶ所とも等しく、この幅が箱の深さになります。


[解答]

　３辺が 6，8，10 の三角形の内接円の半径は (6＋8－10)/2＝2 です。

　できる箱の深さを x とすれば、底の三角形の内接円の半径は 2－x です。

　従って、もとの三角形と底の三角形の相似比は 2：(2－x) で、面積比は 4：(2－x)² です。

　もとの三角形の面積は 6･8/2＝24 だから、底の三角形の面積は 24･(2－x)²/4＝6(2－x)² 、

　V＝6(2－x)²x です。

　ここで、相加･相乗平均の関係により、

　³√{(2－x)²･2x}≦{(2－x)＋(2－x)＋2x}/3＝4/3 、 (2－x)²･2x≦64/27 、V≦64/9 です。

　等号が成立するのは 2－x＝2x 、x＝2/3 のときです。

　まとめれば、深さが 2/3 のとき 容積は最大値 64/9 をとります。


[参考]

　もとの三角形の面積を S，内接円の半径を r とし、できる箱の深さを x とすれば、

　もとの三角形と底の三角形の相似比は r：(r－x) で、面積比は r²：(r－x)² です。　

　V＝{S(r－x)²/r²}x＝S(r－x)²x/r² で、

　相加･相乗平均の関係により、³√{(r－x)²･2x}≦{(r－x)＋(r－x)＋2x}/3＝2r/3 、

　(r－x)²･2x≦8r³/27 、(r－x)²x≦4r³/27 、 V≦S(4r³/27)/r²＝4Sr/27 で、

　等号は r－x＝2x すなわち x＝r/3 のときに成り立ちます。

　従って、最大値は 4Sr/27 で、本問では、4･24･2/27＝64/9 です。

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