[答651] 等差数列の初項と末項
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[答651] 等差数列の初項と末項
初項が a1 ,末項が am である等差数列{an}において、
nが3の倍数である an の総和が 435 、nが3で割って1余る an の総和が 456 、
nが3で割って2余る an の総和は 420 であるとき、 初項 a1=? また、末項 am=?
[解答1]
初項を a,公差を d とします。
kを自然数とし、項数が 3k で表されるとき、
a1+a4+……+a3k-2={a+a+(3k-3)d}k/2=456 、(2a+3kd-3d)k=912 ……(1)、
a2+a5+……+a3k-1={a+d+a+(3k-2)d}k/2=420 、(2a+3kd-d)k=840 ……(2)、
a3+a6+……+a3k={a+2d+a+(3k-1)d}k/2=435 、(2a+3kd+d)k=870 ……(3)、
(1)-(2) より -2kd=72 、(2)-(3) より -2kd=-30 が矛盾するので適しません。
kを自然数とし、項数が 3k+1 で表されるとき、
a1+a4+……+a3k+1={a+a+3kd}(k+1)/2=456 、(2a+3kd)(k+1)=912 ……(4)、
a2+a5+……+a3k-1={a+d+a+(3k-2)d}k/2=420 、(2a+3kd-d)k=840 ……(2)、
a3+a6+……+a3k={a+2d+a+(3k-1)d}k/2=435 、(2a+3kd+d)k=870 ……(3)、
(4)-(2) より 2a+4kd=72 、(2)-(3) より -2kd=-30 だから、
a=6 ,kd=15 、末項は a+3kd=51 です。
( このとき、(6+51)(k+1)/2=456 、k=15 、項数は 3k+1=46 で、公差は 1 です )
kを自然数とし、項数が 3k+2 で表されるとき、
a1+a4+……+a3k+1={a+a+3kd}(k+1)/2=456 、(2a+3kd)(k+1)=912 ……(4)、
a2+a5+……+a3k+2={a+d+a+(3k+1)d}(k+1)/2=420 、(2a+3kd+2d)(k+1)=840 ……(5)、
a3+a6+……+a3k={a+2d+a+(3k-1)d}k/2=435 、(2a+3kd+d)k=870 ……(3)、
{(5)-(4)}/2 より (k+1)d=-36 、{(4)-(3)}/2 より a+kd=21 だから、a=57+d となって、
(4)に代入して、(114+2d+3kd)(k+1)=912 、114(k+1)+2d(k+1)+3kd(k+1)=912 、
d(k+1)=-36 だから、114(k+1)-72+3k(-36)=912 、k=145 、146d=-36 、d=-18/73 、
a=57+d=4143/73 ,末項は a+(3k+1)d=57+3kd+2d=-3705/73 です。
まとめると、初項 6 ,末項 51 または 初項 4143/73 ,末項 -3705/73 です。
[解答2]
初項を a,末項を b,公差を d とします。
kを自然数とし、項数が 3k で表されるとき、
456,420,435 は等差数列でないので適しません。
kを自然数とし、項数が 3k+1 で表されるとき、
nが3で割って1余る an の項数だけが1項多いから、
456-b,420,435,456-a が等差数列になって、
456-b=405 ,456-a=450 、a=6,b=51 です。
このとき、項数は (456+420+435)/{(6+51)/2}=46=3・15+1 です。
kを自然数とし、項数が 3k-1 で表されるとき、
nが3の倍数である an の項数だけが1項少ないから、
435+a-d,456,420,435+b+d が等差数列になって、
435+a-d=492 ,435+b+d=384 、a=57+d ,b=-51-d 、
a+b=6 ,b-a+2d=-108 になります。
このとき、項数は (456+420+435)/{(a+b)/2}=437=3・146-1 です。
b-a+2d=-108 より (437-1)d+2d=-108 、d=-18/73 、
a=57+d=4143/73 ,b=-51-d=-3705/73 になります。
まとめると、初項 6 ,末項 51 または 初項 4143/73 ,末項 -3705/73 です。
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