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[答651] 等差数列の初項と末項

ヤドカリ

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[答651] 等差数列の初項と末項


 初項が a1 ,末項が am である等差数列{an}において、

 nが3の倍数である an の総和が 435 、nが3で割って1余る an の総和が 456 、

 nが3で割って2余る an の総和は 420 であるとき、 初項 a1=? また、末項 am=?


[解答1]

 初項を a,公差を d とします。

 kを自然数とし、項数が 3k で表されるとき、

  a1+a4+……+a3k-2={a+a+(3k-3)d}k/2=456 、(2a+3kd-3d)k=912 ……(1)、

  a2+a5+……+a3k-1={a+d+a+(3k-2)d}k/2=420 、(2a+3kd-d)k=840 ……(2)、

  a3+a6+……+a3k={a+2d+a+(3k-1)d}k/2=435 、(2a+3kd+d)k=870 ……(3)、

  (1)-(2) より -2kd=72 、(2)-(3) より -2kd=-30 が矛盾するので適しません。

 kを自然数とし、項数が 3k+1 で表されるとき、

  a1+a4+……+a3k+1={a+a+3kd}(k+1)/2=456 、(2a+3kd)(k+1)=912 ……(4)、

  a2+a5+……+a3k-1={a+d+a+(3k-2)d}k/2=420 、(2a+3kd-d)k=840 ……(2)、

  a3+a6+……+a3k={a+2d+a+(3k-1)d}k/2=435 、(2a+3kd+d)k=870 ……(3)、

  (4)-(2) より 2a+4kd=72 、(2)-(3) より -2kd=-30 だから、

  a=6 ,kd=15 、末項は a+3kd=51 です。

  ( このとき、(6+51)(k+1)/2=456 、k=15 、項数は 3k+1=46 で、公差は 1 です )

 kを自然数とし、項数が 3k+2 で表されるとき、

  a1+a4+……+a3k+1={a+a+3kd}(k+1)/2=456 、(2a+3kd)(k+1)=912 ……(4)、

  a2+a5+……+a3k+2={a+d+a+(3k+1)d}(k+1)/2=420 、(2a+3kd+2d)(k+1)=840 ……(5)、

  a3+a6+……+a3k={a+2d+a+(3k-1)d}k/2=435 、(2a+3kd+d)k=870 ……(3)、

  {(5)-(4)}/2 より (k+1)d=-36 、{(4)-(3)}/2 より a+kd=21 だから、a=57+d となって、

  (4)に代入して、(114+2d+3kd)(k+1)=912 、114(k+1)+2d(k+1)+3kd(k+1)=912 、

  d(k+1)=-36 だから、114(k+1)-72+3k(-36)=912 、k=145 、146d=-36 、d=-18/73 、

  a=57+d=4143/73 ,末項は a+(3k+1)d=57+3kd+2d=-3705/73 です。

 まとめると、初項 6 ,末項 51 または 初項 4143/73 ,末項 -3705/73 です。


[解答2]

 初項を a,末項を b,公差を d とします。

 kを自然数とし、項数が 3k で表されるとき、

  456,420,435 は等差数列でないので適しません。

 kを自然数とし、項数が 3k+1 で表されるとき、

  nが3で割って1余る an の項数だけが1項多いから、

  456-b,420,435,456-a が等差数列になって、

  456-b=405 ,456-a=450 、a=6,b=51 です。

  このとき、項数は (456+420+435)/{(6+51)/2}=46=3・15+1 です。

 kを自然数とし、項数が 3k-1 で表されるとき、

  nが3の倍数である an の項数だけが1項少ないから、

  435+a-d,456,420,435+b+d が等差数列になって、

  435+a-d=492 ,435+b+d=384 、a=57+d ,b=-51-d 、

  a+b=6 ,b-a+2d=-108 になります。

  このとき、項数は (456+420+435)/{(a+b)/2}=437=3・146-1 です。

  b-a+2d=-108 より (437-1)d+2d=-108 、d=-18/73 、

  a=57+d=4143/73 ,b=-51-d=-3705/73 になります。

 まとめると、初項 6 ,末項 51 または 初項 4143/73 ,末項 -3705/73 です。

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Comments 12

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ニリンソウ  
No title

トウガラシですかー
花も清楚で素敵なんですね、畑の作物にも
こんな花が咲くんですね今度見眼をやってみたいと思います。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
ぎりぎり滑り込めましたが ^^;
解法2のように、もう一項考えられることに思い至らず...苦労しました...
わたしには Aha !! でしたぁ☆

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

唐辛子の花ですか

植物の花は 殆んど知りませんが 全て可愛い花を咲かせますよね
ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
お花も綺麗ですね(o^-^o)

ゆうこ つれづれ日記  
No title

これって・・・・
何の花?
ナンバンかしら?
緑と赤、きれいですね。ポチ☆

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
畑に咲く野菜の花も綺麗です。
なぜか、白・黄・紫が多いですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
1項を加えたり除いたりすると、和自体が等差数列になります。
そのことに気づけば、和の公式がほとんど必要なくなります。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
唐辛子(鷹の爪)の実と花です。
花は小さいですが、白くて存在感がありました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
鷹の爪の花も綺麗です。
赤と緑の実と白い花のコントラストもいいものでした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
鷹の爪の花です。
スーパーで買い物をしても実だけしか見られないので馴染みがないですが、
花も美しいと思います。

樹☆  
No title

こんばんは
わぁ~きれいなお花♬
わたし鷹の爪がすごくきれいだったので
鉢植えを買ったことがありますが・・
お花は初めてみました。。
こんなきれいなんだぁ~
そういえば・・ニラのお花もすてきでしたよね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
鷹の爪の花、樹ちゃんの好きな白い花でした。
野菜の花も綺麗で、見かけたら撮っています。