[答651] 等差数列の初項と末項
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[答651] 等差数列の初項と末項
初項が a1 ，末項が am である等差数列｛an｝において、
ｎが３の倍数である an の総和が 435 、ｎが３で割って１余る an の総和が 456 、
ｎが３で割って２余る an の総和は 420 であるとき、 初項 a1＝？ また、末項 am＝？
[解答1]
初項を a，公差を d とします。
ｋを自然数とし、項数が 3k で表されるとき、
a1＋a4＋……＋a3k-2＝{a＋a＋(3k－3)d}k/2＝456 、(2a＋3kd－3d)k＝912 ……(1)、
a2＋a5＋……＋a3k-1＝{a＋d＋a＋(3k－2)d}k/2＝420 、(2a＋3kd－d)k＝840 ……(2)、
a3＋a6＋……＋a3k＝{a＋2d＋a＋(3k－1)d}k/2＝435 、(2a＋3kd＋d)k＝870 ……(3)、
(1)－(2) より －2kd＝72 、(2)－(3) より －2kd＝－30 が矛盾するので適しません。
ｋを自然数とし、項数が 3k＋1 で表されるとき、
a1＋a4＋……＋a3k+1＝{a＋a＋3kd}(k＋1)/2＝456 、(2a＋3kd)(k＋1)＝912 ……(4)、
a2＋a5＋……＋a3k-1＝{a＋d＋a＋(3k－2)d}k/2＝420 、(2a＋3kd－d)k＝840 ……(2)、
a3＋a6＋……＋a3k＝{a＋2d＋a＋(3k－1)d}k/2＝435 、(2a＋3kd＋d)k＝870 ……(3)、
(4)－(2) より 2a＋4kd＝72 、(2)－(3) より －2kd＝－30 だから、
a＝6 ，kd＝15 、末項は a＋3kd＝51 です。
( このとき、(6＋51)(k＋1)/2＝456 、k＝15 、項数は 3k＋1＝46 で、公差は 1 です )
ｋを自然数とし、項数が 3k＋2 で表されるとき、
a1＋a4＋……＋a3k+1＝{a＋a＋3kd}(k＋1)/2＝456 、(2a＋3kd)(k＋1)＝912 ……(4)、
a2＋a5＋……＋a3k+2＝{a＋d＋a＋(3k＋1)d}(k＋1)/2＝420 、(2a＋3kd＋2d)(k＋1)＝840 ……(5)、
a3＋a6＋……＋a3k＝{a＋2d＋a＋(3k－1)d}k/2＝435 、(2a＋3kd＋d)k＝870 ……(3)、
{(5)－(4)}/2 より (k＋1)d＝－36 、{(4)－(3)}/2 より a＋kd＝21 だから、a＝57＋d となって、
(4)に代入して、(114＋2d＋3kd)(k＋1)＝912 、114(k＋1)＋2d(k＋1)＋3kd(k＋1)＝912 、
d(k＋1)＝－36 だから、114(k＋1)－72＋3k(－36)＝912 、k＝145 、146d＝－36 、d＝－18/73 、
a＝57＋d＝4143/73 ，末項は a＋(3k＋1)d＝57＋3kd＋2d＝－3705/73 です。
まとめると、初項 6 ，末項 51 または 初項 4143/73 ，末項 －3705/73 です。
[解答2]
初項を a，末項を b，公差を d とします。
ｋを自然数とし、項数が 3k で表されるとき、
456，420，435 は等差数列でないので適しません。
ｋを自然数とし、項数が 3k＋1 で表されるとき、
ｎが３で割って１余る an の項数だけが１項多いから、
456－b，420，435，456－a が等差数列になって、
456－b＝405 ，456－a＝450 、a＝6，b＝51 です。
このとき、項数は (456＋420＋435)/{(6＋51)/2}＝46＝3･15＋1 です。
ｋを自然数とし、項数が 3k－1 で表されるとき、
ｎが３の倍数である an の項数だけが１項少ないから、
435＋a－d，456，420，435＋b＋d が等差数列になって、
435＋a－d＝492 ，435＋b＋d＝384 、a＝57＋d ，b＝－51－d 、
a＋b＝6 ，b－a＋2d＝－108 になります。
このとき、項数は (456＋420＋435)/{(a＋b)/2}＝437＝3･146－1 です。
b－a＋2d＝－108 より (437－1)d＋2d＝－108 、d＝－18/73 、
a＝57＋d＝4143/73 ，b＝－51－d＝－3705/73 になります。
まとめると、初項 6 ，末項 51 または 初項 4143/73 ，末項 －3705/73 です。
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