FC2ブログ

Welcome to my blog

[答652] 四角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答652] 四角形の面積


 図のように、中心が A,B,C,D である正方形4個が頂点でつながって内側に四角形を作っています。

 AB=5,BC=4,CD=7 であるとき、この四角形ABCDの面積は?


[解答1]

 A,B,C,Dを中心とする4個の正方形の辺でできる四角形の辺を順に OP,PQ,QR,RO として、

 複素平面上で、O(0) とし、有向線分 OP,PQ,QR,RO を表す複素数を p,q,r,s とすると、

 O(0),P(p),Q(p+q),R(p+q+r) で、p+q+r+s=0 です。

 また、A(α),B(β),C(γ),D(δ) とすれば、

 有向線分 OA,PB,QC,RD を表す複素数は (1/2-i/2)p,(1/2-i/2)q,(1/2-i/2)r,(1/2-i/2)s だから、

 α=(1/2-i/2)p ,β=p+(1/2-i/2)q ,γ=p+q+(1/2-i/2)r ,δ=p+q+r+(1/2-i/2)s となって、

 γ-α=(1/2+i/2)p+q+(1/2-i/2)r ,δ-β=(1/2+i/2)q+r+(1/2-i/2)s だから、

 i(γ-α)-(δ-β)=(i/2-1/2)p+iq+(i/2+1/2)r+(-1/2-i/2)q-r+(-1/2+i/2)s

  =(i/2-1/2)p+(i/2-1/2)q+(i/2-1/2)r+(i/2-1/2)s=(i/2-1/2)(p+q+r+s)=0 になり、

 δ-β=i(γ-α) です。これは、AC=BD,AC⊥BD を表しています。

 ( 調べてみると、オーベルの定理(コリニョンの定理)というそうです。)

 次に、AC=BD=x とすれば、△ABC,△BCD ができる条件から 3<x<9 になります。

 cos2∠DBC+sin2∠DBC=1 より cos2∠DBC+cos2∠ACB=1 、

 余弦定理を用いて、(42+x2-72)2/(2・4・x)2+(42+x2-52)2/(2・4・x)2=1 、(x2-33)2+(x2-9)2=(8x)2

 2x4-148x2+1170=0 、x4-74x2+585=0 、(x2-65)(x2-9)=0 、 3<x<9 より、x2=65 です。

 従って、四角形ABCD=x2/2=65/2 です。


[解答2]

 AC=BD,AC⊥BD までは、[解答1]と同じです。

 A,D から BCにおろした垂線の足をそれぞれ G,H とし、AG=g,DH=h とします。

 AC=BD,∠AGC=∠BHD=90゚,∠ACG=90゚-∠HBD=∠BDH より △ACG≡△BDH 、

 よって、CG=DH=h,BH=AG=g 、

 DH2+CH2=DC2,AG2+BG2=AB2 より、h2+|g-4|2=49,g2+|h-4|2=25 、

 辺々減じて -8g+8h=24 、h=g+3 、g2+|g+3-4|2=25 、g=4,h=7 です。

 AC2=BD2=g2+h2=65 、四角形ABCD=AC・BD/2=65/2 です。


[解答3] 再出発さんのコメントをヒントにして

 下左図の水色の三角形どうし、薄緑色の三角形どうしは合同で、

 共通な頂点を中心に 90゚回転したものです。

 内側の四角形の対角線の中点をMとすれば、中点連結定理より、

 MB,MCは 水色の三角形の最大辺の長さの 1/2 で垂直、

 MA,MDは 薄緑色の三角形の最大辺の長さの 1/2 で垂直、

 よって、△MBC,△MDA は Mを直角とする直角二等辺三角形になり、MB=MC=2√2 です。

 次に、△MCDをMを中心に 90゚回転し、MA,MDを一致させると、

 3辺が 5,7,4√2 の三角形ができて、その面積は 14 になります。

 また、中線定理より、2(MA2+MB2)=AB2+DC2 、2(MA2+8)=25+49 、MA2=29 です。

 四角形ABCD=△MBC+△MDA+(△MAB+△MCD)=4+29/2+14=65/2 です。

.

スポンサーサイト



Comments 18

There are no comments yet.
uch*n*an  
No title

これは苦労しました。
問題を見てすぐ,BD = AC,AC⊥BD,だろう,初等幾何でできる,と思ったものの思い付かず,
それでは三角関数ということで,きれいな式が並んでうまくいきそうだったのですが,
結局は詰め切れませんでした。仕方がないので座標でと思ったのですが,
回転が絡むので[解答1]とは少し違いますが複素平面で考えたら比較的容易にできました。
[解答3]は素晴らしい! やはり初等幾何でうまくいくんですね。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

今日の花はスイフヨウ ですか

優しい 色で 好きな花ですね ナイス☆

ニリンソウ  
No title

柔らかな花びらは芙蓉ですか、この辺ではあまり見かけない花です。
寒さに弱いのかな?

ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
まだ観ることが出来たのですね(o^-^o)
いいお天気に、気持ちがいいですね♪

樹☆  
No title

こんばんは
えっ?芙蓉のお花?
なんだか名残惜しそう。。ナイスです

ヤドカリ  
No title


写真の植物はサキシマフヨウです。
長居植物園に咲いていました。
沖縄中部の山地に自生しますが、
南西諸島のあちこちに植栽されているそうです。
本州のフヨウが咲き終わる頃から咲き始め、
10~12月にかけて永く目を楽しませてくれます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
再出発さんの解答には三角比が使われていましたので、
それを参考に、初等幾何だけでできるように工夫したのが[解答3]です。
それにしても、幾何学的閃きがなくても解ける複素平面は偉大ですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
上に書きましたように、サキシマフヨウです。
花の少なくなってくる、この時期の花として、開花を楽しみにしていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
沖縄の花ですので、多分、寒さには弱いと思います。
気候的には中途半端な関西だから、毎年花を見られるのでしょう。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
「まだ観ることが出来た」というより、今が真っ盛りの花です。
普通のフヨウが見られなくなる頃、サキシマフヨウが綺麗に咲きます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
一般のフヨウは終わる時期ですね。
このサキシマフヨウは今が綺麗な時期です。
淡いピンクが優しい雰囲気を醸し出します。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これはさっぱりわかりませんでした...^^;
複素数使えばと思ったものの...どうすればいいのかも思いつけず...
[解答3]は鮮やかですね☆
AC=BD,AC⊥BD までもが了解できましたぁ♪

スモークマン  
No title


失礼しました...^^;
[解答3]からは...AC=BD,AC⊥BD までは言えないのか...Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
△MBD≡△MCA で、Mを中心に 90゚回転させると 重なるから、
AC=BD,AC⊥BD も言えます。

スモークマン  
No title

やどかりさんへ ^^
そっか !!...たしかに☆
グラッチェ~m(_ _)m~
正3角形3個のつながりのときの「ナポレオンの定理」の、ACとBDの交点はフェルマー点の拡張バージョンのような気がしてきました♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントを有難う御座いました。

ひとりしずか  
No title

フヨウのようだけどちょっと???
きれいだなぁ~と・・

サキシマフヨウ、地名からなんですね・・
(先島(さきしま)は宮古・八重山諸島の総称)
~サキシマフヨウは鹿児島県西部の島から琉球にかけて分布
海岸から沿岸部の平野、斜面下部、丘陵地帯の林縁、
農耕地の周辺、伐採跡などで見られる。~
とありましたが・・

大阪の植物園は豊富ですね~!
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
先島は台風のときの気象情報でよく耳にする地名です。
はるか南に咲く芙蓉が近くで見られるのは嬉しい限りです。