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[答62] 2個の接点を通る直線

ヤドカリ

ヤドカリ



[答62] 2個の接点を通る直線


(1) P(10,-5)から円 x2+y2=50 に2本の接線を引くとき、2つの接点を通る直線の式は?

(2) 直線 y=-3x+25 上の点Pから円 x2+y2=50 に2本の接線を引くとき、

  2つの接点を通る直線が必ず通る点の座標は?



[解答]

(1) 接点を(p,q)とすると、p2+q2=50 で、接線は px+qy=50。

 px+qy=50 が(10,-5)を通るから、10p-5q=50、2p-q=10。

 従って、接点は、x2+y2=50 と 2x-y=10 の交点になります。

 この 2x-y=10 が求める2個の接点を通る直線になります。

(2) 直線 y=-3x+25 上の点をP(t,u)とすると、u=-3t+25。

 接点を(p,q)とすると、p2+q2=50 で、接線は px+qy=50。

 px+qy=50 が(t,u)を通るから、tp+uq=50。

 従って、接点は、x2+y2=50 と tx+uy=50 の交点になります。

 この tx+uy=50 が求める2個の接点を通る直線になります。

 この直線は、tx+(-3t+25)y=50, t(x-3y)+25(y-2)=0。

 x-3y=y-2=0 すなわち x=6, y=2 のとき必ず成り立つから、

 必ず通る点は(6,2)です。62+22<50 だから円内の点です。


[参考]

 円を x2+y2=r2 として、

 極と呼ばれる点(a,b)に対して極線と呼ばれる直線 ax+by=r2 を対応させます。

 極が円周上の点のとき、極線は極における接線ですが、

 極が円外の点のとき、極線は極から2本の接線を引いたときの2つの接点を通る直線、

 極が円内の点のとき、極線は円外にあり、極線上の点を極とする極線が必ず元の点を通る

 という性質があります。

 具体例を挙げると、円が問題のように x2+y2=50 のとき、

 極が(7,1)であれば、 7x+y=50 は、(7,1)での接線

 極が(10,-5)であれば、 10x-5y=50 (2x-y=10) は、
   (10,-5)から2本の接線を引いたときの2つの接点を通る直線

 極が(6,2)であれば、 6x+2y=50 (y=-3x+25) 上の点の極線は、元の点(6,2)を通る

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Comments 13

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ヤドカリ  
No title

この問題は、極線を紹介するためのものです。
2つの接点を通る直線がこんなに簡単に求められることを初めて知った時は驚きでした。
第62問ですので、最後の答を(6,2)にしました。

アキチャン  
No title

おはようございます。
まだ 回っていない脳・・・・ f(^_^;
また、ゆっくり解答を見たいです (o^-^o)
柳の公園・・・癒されますね♪

uch*n*an  
No title

極,極線というのは知りませんでした。勉強になりました。

スモークマン  
No title

今思いついたんですが...2円の交点として...
x^2+y^2=50
(x-5)^2+(y+5/2)^2={(10^2+5^2)^((1/2)/2}^2
=(10^2+5^2)/4
からでも...出せますよね...^^v

uch*n*an  
No title

>2円の交点として
なるほど,確かに。

uch*n*an  
No title

幾何学的にもできますね。
(1)は,傾きが -5/10 に垂直で 2 で,直角三角形の相似から (4,-2) を通ることから。
(2)も同様です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
寒くなると青々とした植物の写真が恋しくなります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、極・極線の考え方は、初めて知ったときの私には新鮮でした。
2点の座標を求めずに、直線の方程式が分かるのですから。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、極・極線を知らずに解く方法としては素晴らしいと私は思います。
OPを直径とする円を考えるのですね。
直径が与えられた円の方程式を求めるときは円周上の点を(x,y)として、
直径の両端から(x,y)へのベクトルの内積が0として考えると、
中点や半径を求める必要がありません。
すなわち、(x,y)⊥(x-10,y+5), x(x-10)+y(y+5)=0 とします。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、crazy_tomboさん、またもや管理人の留守中にいろいろとご議論をいただき有難う御座います。
いずれも円の性質を利用したものですが、
楕円・放物線・双曲線でも使えるのが極・極線の優れたところです。
それを知っている私には、円という特別な場合については端から考えていませんでした。
目から鱗です。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
みなさんに褒められてうれしいな♪
内積の意味分かりました ^^v
これ簡単ですね!!
で...
x^2-10x+y^2+5y=0
x^2+y^2=50
から...
10x-5y=50
2x-y=10
ってすぐ求まるんだ♪

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、ナイスアイデアであっただけに、
失礼ながら、中心と半径を求めるのが、妙手の次の凡手のように感じました。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
妙手はたまにしか訪れない...^^;...だから妙手なんだろけど...
しかも...そのときは嬉しいのだけど...最後まで勝ちきれないこと多し...わたしの囲碁と同じ...Orz...