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[答653] 内部の三角形の面積

ヤドカリ

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[答653] 内部の三角形の面積


 BC=8,CA=9,AB=7 の △ABCの内部に点Pがあり、PB=PC=5 であるとき、△ABP の面積は?


[解答1]

 余弦定理より、cos∠ABC=(AB2+BC2-CA2)/(2・AB・BC)=(72+82-92)/(2・7・8)=2/7 、

 sin∠ABC=(3√5)/7 、cos∠PBC=(BC/2)/PB=4/5 、sin∠PBC=3/5 です。

 sin∠ABP=sin(∠ABC-∠PBC)=sin∠ABCcos∠PBC-cos∠ABCsin∠PBC

  ={(3√5)/7}(4/5)-(2/7)(3/5)=(12√5)/35-6/35=(12√5-6)/35 、

 △ABP=(1/2)・AB・AC・sin∠ABP=(1/2)・7・5・(12√5-6)/35=6√5-3 です。


[解答2] 初等幾何で

 AからBCにおろした垂線の足をH,BCの中点をMとします。

 三平方の定理により、AH2=AB2-BH2=AC2-CH2 だから、

 CH2-BH2=AC2-AB2 、(CH+BH)(CH-BH)=92-72 、8(CH-BH)=32 、

 CH-BH=4 、CH+BH=8 と併せて、BH=2,CH=6 です。

 AH=√(AB2-BH2)=√(72-22)=3√5 、

 PM=√(PB2-BM2)=√(52-42)=3 です。

 △ABP=△ABH+△AHP-△PBH=△ABH+△AHM-△PBH=△ABM-△PBH

  =4(3√5)/2-2・3/2=6√5-3 です。

 座標平面上で A(2,3√5),B(0,0),P(4,3) として、

 △ABP=|2・3-4・3√5|/2=6√5-3 としてもかまいません。

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Comments 12

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
時雨れた朝ですそちらは晴れですか?
この木の花は何でしょう・・ギンモクセイ?

ナイスな一日でありますように

樹☆  
No title

おはようございます。
キンモクセのお花はよく見ます。。
これこれ・・すごく探しました。
去年咲いてた場所に無くて・・
香りもそれほどじゃなくて・・でも小さな白い花が
大好きで。。
ありがとう♬やどかりさんナイスです

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
花も天気も👍...but...鼻風邪の方が...^^;

わたしゃ[解答1]に比べて回り道してましたぁ ^^;...
初等幾何[解答2]でいとも簡単に出せるとは☆
最後は...
□ABHP-△PBH=(AH*4-2*3)/2
と即考えてもいいですよね ^^v...Orz~

こっこちゃん  
No title

こんにちは!(^^)!

キンモクセイですか

すてきな 香りで判る花ですよね ナイス☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
香ってきそうです(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
こちらも今日はスッキリしない天気で、晴れ間もありましたが急に降り出しました。
花は、仰るとおりギンモクセイです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントを有難う御座います。
キンモクセイはよく見ますが、ギンモクセイはあまり見ません。
キンモクセイほど目立たないだけに、出会えると嬉しい花です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
初等幾何でも三角比でもなんとかなる問題でした。
なるべく簡単な解き方を見つけたいものですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
キンモクセイの横に咲いていたギンモクセイです。
キンモクセイの強烈な香りのためにあまり香りがわかりませんでしたが、
色が落ち着いた雰囲気を醸し出しています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
香りの良い花はいいですね。季節を感じさせます。

ひとりしずか  
No title

ギンモクセイでしたか~
なんか見たような気がしましたが・・
少し前ブログ記事で見たことが~
金木犀より香り少ないそうですね
それに金木犀より地味に感じました
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ギンモクセイはあまり目立ちませんが、珍しく、出会えると得した気分になります。
また、白っぽいだけに落ち着いた感じがします。