FC2ブログ

Welcome to my blog

[答658] 垂足三角形の外接円

ヤドカリ

ヤドカリ



[答658] 垂足三角形の外接円


 △ABCの頂点A,B,Cから対辺におろした垂線の足をそれぞれ D,E,F とします。

 BC=14,CA=13,AB=15 であるとき、 D,E,F を通る円の直径は?


[解答1]

 余弦定理より、cos∠CAB=(132+152-142)/(2・13・15)=33/65 、

 AE=BAcos∠CAB,AF=CAcos∠CAB より △AEF∽△ABC 、EF=BCcos∠CAB=462/65 、

 余弦定理より、cos∠ABC=(152+142-132)/(2・15・14)=3/5 、

 BF=CBcos∠ABC,BD=ABcos∠ABC より △BFD∽△BCA 、FD=CAcos∠ABC=39/5 、

 余弦定理より、cos∠BCA=(142+132-152)/(2・14・13)=5/13 、

 CD=ACcos∠BCA,CE=BCcos∠BCA より △CED∽△CAB 、DE=ABcos∠BCA=75/13 となって、

 △DEF の面積を S,外接円の半径を R とすれば、

 (462/65+39/5+75/13)/2=672/65 だから、ヘロンの公式により

 S=√{(672/65)(672/65-462/65)(672/65-39/5)(672/65-75/13)}

  =√{(672/65)(42/13)(33/13)(297/65)}=16632/845 になり、

 4RS=(462/65)(39/5)(75/13) 、2R=(462/65)(39/5)(75/13)/(2・16632/845)=65/8 です。


[解答2]

 △ABCの垂心をH,BCの中点をM,AHの中点をN とします。

 △EHA∽△ECB で、対応する辺が垂直だから、Eからの中線 EN⊥EM になり、

 △FHA∽△FBC で、対応する辺が垂直だから、Fからの中線 FN⊥FM になり、

 ∠NDM=∠NEM=∠NFM=90゚ となって、NMを直径とする円周上に D,E,F があります。

 AD2=AB2-BD2=AC2-CD2 、AB2-AC2=BD2-CD2=(BD+CD)(BD-CD) 、

 152-132=14(BD-CD) 、BD-CD=4 、よって、BD=9,CD=5,AD=12 になります。

 次に、△ADC∽△BDH より AD:BD=DC:DH 、12:9=5:DH 、DH=15/4 になり、

 ND=(AD+DH)/2=(12+15/4)/2=63/8 、DM=BC/2-CD=14/2-5=2 、

 NM=√(ND2+DM2)=√{(63/8)2+22}=65/8 です。

☆ BCの中点とAHの中点を結ぶ線分がこの円の直径となるのと同様に、

 CAの中点とBHの中点を結ぶ線分,ABの中点とCHの中点を結ぶ線分も直径となり、

 垂線の足3個と各辺の中点3個と頂点と垂心の中点3個の9個は同じ円周上にあります。

 この円を九点円といいます。


[解答3]

 三角形の九点円は3個の垂線の足を通り、外接円の 1/2 であることを知っていれば簡単です。

 三角形の九点円の直径は外接円の半径と等しく、

 △ABC の面積を S,外接円の半径を R とすれば、(14+13+15)/2=21 だから、

 ヘロンの公式により S=√{21(21-14)(21-13)(21-15)}=84 になり、

 4RS=14・13・15 、R=14・13・15/(4・84)=65/8 です。

.

スポンサーサイト



Comments 17

There are no comments yet.
こっこちゃん  
No title

おはようございます

今日の花は ツワブキの花ですね

宮崎では 県の指定花なので 良く見かけます ナイス☆

こっこちゃん  
No title

トラバさせて下さいね

ニリンソウ  
No title

黄菊が匂うようですね
モミジと菊 日本の秋です

ないす

tsuyoshik1942  
No title

○○○=九点円に思い至らず、苦労し計算しました。「垂足円」なる語などを頭に描きました。

一生懸命探している時には判らず、解答送信後、ふとしたときに[九点円」が目に止まりました。
三角形には、ほんとに、たくさんの繋がりがあるのですね!

アキチャン  
No title

おはようございます。
まだまだ小菊~♪綺麗ですね(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは見ただけで...無理と諦めちゃいましたが…^^;
[解答1]をみて、ウン知った鳩の巣 !! /コロンブスの卵でしたぁ ☆
[解答2]で九点円もよくわかりましたぁ♪
こんな発想でオイラーさんも発見されたのか知らん ^^…Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

菊の花なんですか?
黄色で小さなお花が可愛いです。
お花が見られるって気持ちが癒されますよね。
ポチ☆

樹☆  
No title

こんにちは
スプレー菊の種類?イエローカラーがとても暖かく感じます。
小さくて可愛いから今の時期は
仏さまのお花に大活躍です^^

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!とTBを有難う御座います。
この花は泡黄金菊(アワコガネギク)です。
黄色がツワブキにも似ていますね。葉が写っていないと難しいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
黄色の菊は白と違って暖かさを感じます。
寒くなってくる時期だけに黄色の方がいいかも知れません。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
三角形にある性質は不思議なものも知らないものも多いです。
それを知るだけでも楽しいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
菊は野生種だけでもたくさんあるそうです。
この時期にはなくてはならない花ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
[解答2]で九点円をご理解頂ければ、この解答を書いた甲斐があります。
同一円周上にこんなに特別な点があるのは不思議です。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
アワコガネギクという菊で、東北地方が北限のようです。
黄色の菊が小さな太陽のようで、気持ちが癒されます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
そうですね、この時期、仏壇に似合う花です。
古の人は、品種改良されていないこんな野生種を供えていたのでしょうね。

Yasuko  
No title

やどかりさん!こんばんは^^

ご無沙汰してます(。v_v。)
5ヶ月かん放浪してましたぁ~•( ◜◡‾)(‾◡◝ )

来週から復帰しますのでまた宜しくお願いします!

アワコガネギク✿言うのですか(。・ܫ・)(。-ܫ-)(。・ܫ・)(。-ܫ-)ゥィゥィ♪

d(゚-^*) ナイス♪

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、お久しぶりです。コメントとナイス!を有難う御座います。
このアワコガネギクも花の文化園に咲いていたものです。
私は時々いきますが、見逃した花をとくyasukoさんのブログで見ました。
復帰されればまた見せていただきます。
もちろん、見逃した花がない方がいいのですが。