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[答659] 三角形と正九角形の面積比

ヤドカリ

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[答659] 三角形と正九角形の面積比


 40゚ の角を挟む2辺の長さの差が 4 で 他の1辺の長さが 9 である三角形の面積を S ,

 1辺の長さが 1 の正九角形の面積を T とするとき、S:T=?


[解答1]

 1辺の長さが 1 の正九角形の外接円の半径を R とすれば、

 2Rsin20゚=1,T=9・(1/2)R2sin40゚ です。

 面積が S の三角形の 40゚ の角を挟む2辺の長さを a,b とすれば、S=(1/2)ab・sin40゚ 、

 余弦定理より、92=a2+b2-2ab・cos40゚ 、81=(a-b)2+2ab(1-cos40゚) 、

 81=42+4ab(1-cos40゚)/2 、65=4ab・sin220゚ です。

 従って、S:T=ab:9R2=4ab・sin220゚:9R2・4sin220゚=65:9 です。


[解答2]

 頂角が 40゚ の二等辺三角形の等辺は底辺の k 倍とします。

 面積がSの三角形を△PAB,PA>PB,∠P=40゚ とし、

 PBの延長上に PA=PC を満たす点Cを、PA上に PB=PD を満たす点Dをとり、

 PA=PC=a,AC=c,PB=PD=b,DB=d とすれば、a=ck,b=dk です。

 また、四角形ACBDは対角線が等しく長さは 9 ,等辺の長さは 4 の等脚台形になり、

 等脚台形は円に内接するので、トレミーの定理により、cd+42=92 、cd=65 です。

 1辺が 1 の正九角形は、等辺が k で 頂角が 40゚ の二等辺三角形9個分だから、

 S:T=ab:9k2=ck・dk:9k2=cd:9=65:9 です。


[解答3]

 この三角形を9個並べた図より明らかに、S/T=(92-42)/9=65/9 、 S:T=65:9 です。

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Comments 18

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ニリンソウ  
No title

風船トウワタも不思議な植物ですね
花と実が一緒です
羽を付けて種が飛ぶ様子も見たことありますよ

ナイス

ひとりしずか  
No title

ほんとに不思議な~
花の添付もあっていいですね!
ナイス☆

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

今日からまた寒くなりそうですね。

フウセントウワタ✿不思議な植物です•( ◜◡‾)(‾◡◝ )
花の文化園で私も見てきました

d(゚-^*) ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答3]鮮やかですね☆
目が覚めましたぁ♪
こういう仕組みになってることに初めて気付きました ^^ Orz~

uch*n*an  
No title

なるほど,[解答3]は見事ですねぇ。気付きたかったなぁ。

なお,諸般の事情で,今後は参加が難しくなるかも知れません。
できるだけ頑張りますが,参加できても答えだけとか。申し訳ない。

tsuyoshik1942  
No title

確かに、[解答3」きれいですね!もっとも、図を見ても最初は??でしたが、
自分は、[解答1」もどきでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
この植物も長い間、見られます。
実がはじけて綿のようなものを見ることもあります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
本当に不思議な植物ですね。
花が少し離れていたので、別に撮って囲みに入れました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私も花の文化園でも見ましたが、これは古墳の傍に咲いていたものです。
本当に不思議な植物です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
[解答3]で目が覚めて頂いたようで嬉しいです。
このような解き方があれば、算チャレの問題の範疇にも入りますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答3]が想定解でしたが、どなたの解答にもありませんでした。
ところで、
「参加」は無理のない程度でお願いします。
今までの解答だけでも凄い量だと思います。
それに、出題から解答説明まで6日ありますので、
気が向いた時に解いて頂ければ十分です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
[解答1]が思いつきやすい解き方です。
[解答3]は知識の乏しい者が工夫を重ねて思いつくような解答です。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
お花からこのぶつぶつの風船は想像つきませんね!(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
小さな白い花が密集しています。
そんな花からできる風船は不思議です。

こっこちゃん  
No title

此方でも フウセントウ良く見かけます

花が可愛いですよね ナイス☆

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントを有難う御座います。
仰る通り、花が可愛いですね。
この独特な実がやはり特徴的です。

樹☆  
No title

わたしね、これを「フーセンカズラ」と思い込んでいたときが
あります。
だから・・なぜ種はハート型じやないの?って。。

困りますよね。違うのに。フウセントウワタですね。覚えました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
フーセンカズラもよく見ます。
ただ、花が小さくて撮る気がしませんでした。
今思えば、撮っておけばよかったです。