FC2ブログ

Welcome to my blog

[答660] 面積を2等分する線

ヤドカリ

ヤドカリ



[答660] 面積を2等分する線


 ∠AOB=90゚ である △OABの 辺OA上に点P,辺OB上に点Q をとって、線分PQが△OABの面積を2等分する

 とき、△OABの内部で 線分PQが通らない部分の面積をSとすれば、S/△OAB=?


[解答]

 a>0,b>0 として O(0,0),A(4a,0),B(0,4b),P(s,0),Q(0,t) とすれば、

 △OAB=8ab,△OPQ=st/2 だから、st=8ab 、s≦4a,t≦4b より 2b≦t≦4b になります。

 また、線分PQの式は、y=-tx/s+t 、y=-t2x/(st)+t 、y=-t2x/(8ab)+t 、

 xt2-8abt+8aby=0 になります。

 この t の方程式が 2b≦t≦4b に解をもつ(x,y) (x>0,y>0) が線分PQが通る部分で、

 まず、線分PQが通る部分の面積を求めます。

 f(t)=xt2-8abt+8aby とおけば、f(t)=x(t-4ab/x)2-16a2b2/x+8aby です。

 f(t)=0 が 2b≦t≦4b に解をもつのは、次の(1)(2)の場合があります。

 (1) f(2b)・f(4b)≦0 の場合、

   (4b2x-16ab2+8aby)(16b2x-32ab2+8aby)≦0 、(2ay+bx-4ab)(ay+2bx-4ab)≦0 。

   これが、緑の部分で、2本の赤の線分の交点は△OABの重心だから面積は △OAB/3=8ab/3 です。

 (2) f(2b)≧0,f(4b)≧0,2b≦4ab/x≦4b,-16a2b2/x+8aby≦0 の場合、

   4b2x-16ab2+8aby≧0,16b2x-32ab2+8aby≧0,1/(2a)≦1/x≦1/a,y≦2ab/x 、

   2ay+bx-4ab≧0,ay+2bx-4ab≧0,a≦x≦2a,y≦2ab/x 、

   これが、オレンジ色の部分で、右図のように、面積は、

   ∫a2a 2ab/x dx-a・2b/2-b・(2a/3)/2=2ab[logx]a2a-4ab/3=2ab(log2-2/3) です。

 よって、S/△OAB={8ab-8ab/3-2ab(log2-2/3)}/(8ab)={8-8/3-2(log2-2/3)}/8=5/6-(log2)/4 です。


☆ 5/6-(log2)/4=0.660046538……

☆ 1次変換は面積比を保つので、直角三角形以外の三角形でも 5/6-(log2)/4 になります。

.

スポンサーサイト



Comments 16

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

今年はアザミの花良く見ます
好きな花です!
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

アザミかな、タムラソウかな
アザミも種類がいっぱいありますね

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解いた」とは言い難く、計算過程もあやふやですが、2本の直線と1本の曲線から、答を見出しました。
とにかく、自然対数を含む問題に正解を得、うれしかったです。

こっこちゃん  
No title

おはようございます

アザミの 色は良いですよね

散歩で見ると その日は 一日ラッキーです
今朝はここで ラッキー 頂きますね ナイス☆

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

ハナアザミかしら、鮮やかな色ですね
棘があるので触れないけど~(。v_v。)
好きなお花です♪

ナイス!☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは…曲線がわからなくって...グリコのマークでしたぁ ^^;
こういうのが解けるようになりたいなぁ~~~!!
咀嚼に努めたいと思います ^^;v

アキチャン  
No title

こんばんわ。
痛そうf(^。^;
でも、いい色ですね~♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
アザミの花は長い間見られますし、よく目立ちます。
種類は多いのですが、アザミであることは明らかですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
このアザミはハマアザミという、伊豆以西の海岸近くに咲くアザミです。
種類が多いため、見た目、特に写真では区別できませんね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
一部が直角双曲線ですので、積分すれば自然対数が出てきます。
たまには、積分計算するだけの問題では面白くないのですが、
こんな自然な問題の答に出てくるのが不思議です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
アザミの色は葉の色と対照的で目立ちますね。
私は見てラッキーとまでは思いませんが、そのように捉えたいものです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このアザミは花の文化園で見たハマアザミです。
もちろん、触る気はしないですが、鮮やかな色で咲いていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
単純な感じのする問題ですが、双曲線が現れました。
面積を二等分する線を何本も書いていけば、大体の形が分かります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
アザミは痛そうですので生き残るのでしょうか?
花は鮮やかな色です。

樹☆  
No title

アザミ・・好きなお花です。
アザミ嬢のララバイって歌もあります。。
この花デッサンが難しいと思います。ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
私にはララバイとかデッサンはこの花から浮かびませんでした。
でも魅力的な花ですね。