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スチュワートの定理

ヤドカリ

ヤドカリ



スチュワートの定理の証明

 PがHよりBに近いとき PH>0, PがHよりCに近いとき PH<0 とします。

 三平方の定理を使って、

 AB2=BH2+AH2=(BP+PH)2+AH2=BP2+2・BP・PH+PH2+AH2=BP2+2・BP・PH+AP2

 AC2=CH2+AH2=(CP-PH)2+AH2=CP2-2・CP・PH+PH2+AH2=CP2-2・CP・PH+AP2

 nAB2=nBP2+2・nBP・PH+nAP2, mAC2=mCP2-2・mCP・PH+mAP2

 nAB2+mAC2=(m+n)AP2+nBP2+mCP2+2(nBP-mCP)PH

 nBP-mCP=0 だから、nAB2+mAC2=(m+n)AP2+nBP2+mCP2


☆ m=n のときは、AB2+AC2=2AP2+2BP2 となって、これはパップスの中線定理です。

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