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[答662] 同心の円と正方形

ヤドカリ

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[答662] 同心の円と正方形


 図のように、半径 20 の円に、円の中心を中心とし、円と8点で交わる正方形を描き、

 交点どうしを結んで正方形を9個の部分に分けるとき、

 色をつけた部分(正方形でない長方形4個分)の面積の最大値は?


[解答1]

 中央にできる正方形の1辺を a,隅4個の正方形の1辺を b ,色のついた部分の面積を S すれば、

 4個の長方形の2辺は a,b で、S=4ab です。

 三平方の定理より、 (a+2b)2+a2=402 、2a2+4ab+4b2=1600 、

 ここで、相加・相乗平均の関係により、2a2+4b2≧2√(2a2・4b2)=(4√2)ab=S√2 だから、

 S+S√2≦2a2+4ab+4b2=1600 、S≦1600/(√2+1)=1600(√2-1) です。

 等号が成り立つのは、2a2=4b2 すなわち、a=b√2 のときで、

 これは、円と正方形が交わる8点が正八角形の頂点になるときです。

 このとき、Sの最大値は、1600(√2-1) です。


[解答2]

 円と8点で交わる正方形を大正方形ということにします。

 右図のように、大正方形の外部にある弧の円周角をθ(0゚<θ<45゚)とすると、

 大正方形の1辺は 40cosθ,中央の正方形の1辺は 40sinθ になり、

 4隅の正方形の1辺は (40cosθ-40sinθ)/2=20(cosθ-sinθ) になります。

 4個の長方形の2辺は 40sinθ,20(cosθ-sinθ) で、

 S=4(40sinθ)・20(cosθ-sinθ)=3200sinθ(cosθ-sinθ)=1600(2sinθcosθ-2sin2θ)

  =1600(sin2θ+cos2θ-1)=1600{(√2)sin(2θ+45゚)-1} となって、

 2θ=45゚ のとき、Sの最大値は、1600(√2-1) です。

 これは、大正方形の外の弧に対する中心角が 45゚ であることを表していますので、

 円と大正方形が交わる8点を結ぶと正八角形になります。

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Comments 12

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tsuyoshik1942  
No title

「相加・相乗平均」による解法があるはずと思いながら、うまく適用できませんでした。
自分は、「2a^2+4ab+4b^2=1600」を以下のように変形し、答を得ました。

2a^2+4ab+4b^2=2*(a^2-2√2ab+(√2b)^2)+4√2ab+4ab=
2*(a-√2b)^2+4ab(√2+1)=1600
上式より、4abは「a=√2b」の時最大値「1600/(√2+1)」となる。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
相加、[解答1]に気付けず…^^;
長方形の頂点を1つ飛ばしに結ぶと正方形(一意)なので...もう一つの頂点が最初の頂点に極近いと長方形の面積は極小で離れると漸増、隣の頂点に地下ずくと(遠ざかると)また面積は極小になるからその真ん中のときが最大(正八角形のとき)と考え、微分で求めましたが...やっぱりいい加減すぎましたかね…&...相加相乗が便利ですねぇ☆
微分と相加相乗との相互関係はどうなってるんだろ?…Orz~

ニリンソウ  
No title

ガマズミかな?
まだ葉が青々と赤い実とのコントラストで眼が行きますね

ナイス

Yasuko  
No title

ガマズミかしら?葉っぱが似ているので?

間違ってたらゴメンネ( ๑*╹౪╹)(╹౪╹*๑)ネー

ナイス!☆

こっこちゃん  
No title

カマズミですか

真っ赤な実が 素晴らしいですね
元気もらえました ナイス☆

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
貴殿の書かれている式をショートカットしたのが相加・相乗平均の関係です。
図形の問題は正の数を扱いますので、特に有用です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
時々理由が分からず、貴殿の解答を解釈するのが難しいことがあります。
それが結果的に正解になっているのは、特殊能力ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
少し前に撮ったガマズミです。
葉が青々としている時に、実の赤が際立ちます。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通りガマズミです。
少し前に花の文化園で撮ったもので、アップするのを忘れていました。
実の赤が見事でした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
貴女の名前アイコンのような色の葉の中に、赤が目立ちました。
植物から元気をもらえるのがいいですね。

樹☆  
No title

おはようございます^^
可愛らしいつやつやした実が魅了的です
たわわにナイスです

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
艶やかな赤い実が緑の葉の中でよく目立っていました。
これも秋の風景の1つです。