角の二等分線の長さの公式
角の二等分線の長さの公式の証明
AD,AE を ∠Aの内角・外角の二等分線とします。
AD//PC, AE//QC となるように、辺AB(またはその延長)上に点P,Qをとると、
AP=AQ=AC となります。
BD:DC=BA:AP=BA:AC, BE:EC=BA:AQ=BA:AC となって、
D,E は辺BCを、BA:AC に内分・外分する点になります。
したがって、
BD=BC・BA/(BA+AC), DC=BC・AC/(BA+AC)
BE=BC・BA/(BA-AC), EC=BC・AC/(BA-AC)
PC:AD=BP:BA=(BA+AC):BA よって PC=AD(BA+AC)/BA
QC:AE=BQ:BA=(BA-AC):BA よって QC=AE(BA-AC)/BA
また、PC2+QC2=PQ2=4AC2 ですから、
AD2(BA+AC)2/BA2+AE2(BA-AC)2/BA2=4AC2
AD2(BA+AC)2+AE2(BA-AC)2=4BA2AC2……(1)
更に、
DE=DC+CE=BC・AC/(BA+AC)+BC・AC/(BA-AC)=BC・AC・2BA/(BA+AC)(BA-AC)
AD2+AE2=DE2 ですから、
AD2+AE2=4BC2BA2AC2/(BA+AC)2(BA-AC)2……(2)
(1)-(2)×(BA-AC)2 より、AD2・4BA・AC=4BA2AC2{1-BC2/(BA+AC)2}
AD2=BA・AC{1-BC2/(BA+AC)2}=BA・AC-BA・AC・BC2/(BA+AC)2=BA・AC-BD・DC
(2)×(BA+AC)2-(1) より、AE2・4BA・AC=4BA2AC2{BC2/(BA-AC)2-1}
AE2=BA・AC{BC2/(BA-AC)2-1}=BA・AC・BC2/(BA-AC)2-BA・AC=BE・EC-BA・AC
AD2=BA・AC-BD・DC, AE2=BE・EC-BA・AC
簡単な証明はこちら ⇒ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/32157672.html
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