角の二等分線の長さの公式

角の二等分線の長さの公式の証明

　AD,AE を ∠Aの内角・外角の二等分線とします。

　AD//PC, AE//QC となるように、辺AB(またはその延長)上に点P,Qをとると、

　AP＝AQ＝AC となります。

　BD：DC＝BA：AP＝BA：AC, BE：EC＝BA：AQ＝BA：AC となって、

　D,E は辺BCを、BA：AC に内分・外分する点になります。

　したがって、

　BD＝BC･BA/(BA＋AC), DC＝BC･AC/(BA＋AC)

　BE＝BC･BA/(BA－AC), EC＝BC･AC/(BA－AC)

　PC：AD＝BP：BA＝(BA＋AC)：BA よって PC＝AD(BA＋AC)/BA

　QC：AE＝BQ：BA＝(BA－AC)：BA よって QC＝AE(BA－AC)/BA

　また、PC²＋QC²＝PQ²＝4AC² ですから、

　AD²(BA＋AC)²/BA²＋AE²(BA－AC)²/BA²＝4AC²

　AD²(BA＋AC)²＋AE²(BA－AC)²＝4BA²AC²……(1)

　更に、

　DE＝DC＋CE＝BC･AC/(BA＋AC)＋BC･AC/(BA－AC)＝BC･AC･2BA/(BA＋AC)(BA－AC)

　AD²＋AE²＝DE² ですから、

　AD²＋AE²＝4BC²BA²AC²/(BA＋AC)²(BA－AC)²……(2)

(1)－(2)×(BA－AC)² より、AD²･4BA･AC＝4BA²AC²{1－BC²/(BA＋AC)²}

　AD²＝BA･AC{1－BC²/(BA＋AC)²}＝BA･AC－BA･AC･BC²/(BA＋AC)²＝BA･AC－BD･DC

(2)×(BA＋AC)²－(1) より、AE²･4BA･AC＝4BA²AC²{BC²/(BA－AC)²－1}

　AE²＝BA･AC{BC²/(BA－AC)²－1}＝BA･AC･BC²/(BA－AC)²－BA･AC＝BE･EC－BA･AC

　AD²＝BA･AC－BD･DC, AE²＝BE･EC－BA･AC


簡単な証明はこちら ⇒ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/32157672.html

.