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角の二等分線の長さの公式

ヤドカリ

ヤドカリ



角の二等分線の長さの公式の証明

 AD,AE を ∠Aの内角・外角の二等分線とします。

 AD//PC, AE//QC となるように、辺AB(またはその延長)上に点P,Qをとると、

 AP=AQ=AC となります。

 BD:DC=BA:AP=BA:AC, BE:EC=BA:AQ=BA:AC となって、

 D,E は辺BCを、BA:AC に内分・外分する点になります。

 したがって、

 BD=BC・BA/(BA+AC), DC=BC・AC/(BA+AC)

 BE=BC・BA/(BA-AC), EC=BC・AC/(BA-AC)

 PC:AD=BP:BA=(BA+AC):BA よって PC=AD(BA+AC)/BA

 QC:AE=BQ:BA=(BA-AC):BA よって QC=AE(BA-AC)/BA

 また、PC2+QC2=PQ2=4AC2 ですから、

 AD2(BA+AC)2/BA2+AE2(BA-AC)2/BA2=4AC2

 AD2(BA+AC)2+AE2(BA-AC)2=4BA2AC2……(1)

 更に、

 DE=DC+CE=BC・AC/(BA+AC)+BC・AC/(BA-AC)=BC・AC・2BA/(BA+AC)(BA-AC)

 AD2+AE2=DE2 ですから、

 AD2+AE2=4BC2BA2AC2/(BA+AC)2(BA-AC)2……(2)

(1)-(2)×(BA-AC)2 より、AD2・4BA・AC=4BA2AC2{1-BC2/(BA+AC)2}

 AD2=BA・AC{1-BC2/(BA+AC)2}=BA・AC-BA・AC・BC2/(BA+AC)2=BA・AC-BD・DC

(2)×(BA+AC)2-(1) より、AE2・4BA・AC=4BA2AC2{BC2/(BA-AC)2-1}

 AE2=BA・AC{BC2/(BA-AC)2-1}=BA・AC・BC2/(BA-AC)2-BA・AC=BE・EC-BA・AC

 AD2=BA・AC-BD・DC, AE2=BE・EC-BA・AC


簡単な証明はこちら ⇒ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/32157672.html

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Comments 2

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スモークマン  
No title

A の軌跡は...以前教わった...アポロニウスの円と呼ばれるものですよね♪
DEを直径とする円上の点を取る時...Cを決めたら...Bが決まっちゃうということですよね...?

ヤドカリ  
No title

はい、B,Cを固定して、BA:ACが一定になるような点Aの奇跡が、
その比の内分点・外分点を結ぶ線分を直径とする円になります。
これが、アポロニウスの円です。
「Cを決めたら...Bが決まっちゃう」というのが正しいかどうかは私には判断出来ません。
どのような条件でというのが書かれていないからです。