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[答663] 分数式の最小値

ヤドカリ

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[答663] 分数式の最小値


 x>0,y>0,z>0 のとき、 14(x+y+z)+81/(xyz)+135/(x+y+z) の最小値は?



[解答1] たけちゃんさんのコメントより(ほとんどの方がこの解き方でした)

 x+y+z が一定のとき,xyz を大きくするほど式の値は小さい.

 「 3√(xyz)≦(x+y+z)/3.等号は x=y=z で成立 」より,x=y=z のときを考えればよい.

 このとき,(与式)=42x+81/x3+45/x .

 f(x)=42x+81/x3+45/x として, f'(x)=42-243/x4-45/x2=3(x2-3)(14x2+27)/x4 より,

 f(x) は x=√3 で最小で,最小値は 66√3 .


[解答2] 相加・相乗平均だけで

 a>0,b>0 である任意の a,b に対して、相加・相乗平均の関係により、

 ax+ay+az+81/(xyz)≧4・4√{ax・ay・az・81/(xyz)}=12・4√a3 になり、

 等号は成り立つのは ax=ay=az=81/(xyz) 、すなわち、x=y=z=3/4√a のときです。

 また、b(x+y+z)+135/(x+y+z)≧2√{b(x+y+z)・135/(x+y+z)}=6√(15b) になり、

 等号は成り立つのは b(x+y+z)=135/(x+y+z) 、すなわち、x+y+z=3√(15/b) のときです。

 よって、3/4√a=√(15/b) 、すなわち、3b=5√a であれば、

 (a+b)(x+y+z)+81/(xyz)+135/(x+y+z) の最小値は 12・4√a3+6√(15b) です。

 a+b=14,3b=5√a のとき、3(14-a)=5√a 、3a+5√a-42=0 、(√a-3)(3√a+14)=0 、

 √a=3 、a=9,b=5 だから、

 14(x+y+z)+81/(xyz)+135/(x+y+z) の最小値は 66√3 です。

 ( x=y=z=√3 のとき最小値になります )

.

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Comments 12

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

やどかりさん、こちらではこの葉のオキザリスが
よく見られるんですよ
変わった色だから目につくのかな。
ナイス

tsuyoshik1942  
No title

[解答1」でした。[相加・相乗平均」の適用を模索しましたが、[解答2」には至れませんでした。

ただ、その思考の中で、
42x+81/x^3+45/x→3x*14+(27/x^3)*3+(9/x)*5 と変形すれば
これ等の[22項」を乗じると一定値となるので、「相加・相乗平均」から
「3x=27/x^3=9/x となる x=√3のとき与式は最小値をとる」と解しました。

Yasuko  
No title

☆。◕‿◕。)ノ♡☆,。・:*:・゚おはよ~☆彡

色違いのオキザリス✿
寒い時にお花を見るとほっこりしますね。

ナイス!☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしも、相加相乗と思うも…気付けず…^^;
tsuyoshik1942さんの方法を見て、微分で求める方法との関連性がわかったような気がしました ☆
たとえば…f(x)=x^2+16/x+1 の0<x における最小値は…
f'(x)=2x-16/x^2 から…f(2)=13

相加相乗から…
x^2+(8/x)+(8/x)>=3*(64)^(1/3)=3*(2^6)^(1/3)=12
等号は…x^2=8/x のときで…x=2

みたいな…微分でなくても求められるわけですねぇ♪
ただ…積で上手くxが消えてくれるような関数の場合しか適応はできないのでしょうが…?…Orz~

アキチャン  
No title

こんにちわ。
オキザリス、本当にかわいいです(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
ムラサキゴテンもそうですが、何か不思議な色の葉です。
オキザリスにしては花がムラサキカタバミに似ていますね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
貴殿の書かれているような工夫を、x,y,zのままで計算したのが[解答2]です。
もちろん、a,bの値を思いついたものとして解答を書けば、
もっとシンプルなものになります。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
大仙公園の近くを散歩していてみつけました。
寒い時期で、明日はもっと寒くなるそうですが、
気持ちが温まるような出会いがあればいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
相加・相乗平均を感じるようになられたのはこのブログに毒されているから?
閑話休題、
「積で上手くxが消えてくれるような関数の場合しか適応はできないのでしょうが」
和か積が一定値になるときに、最大値や最小値を求めるときに有用ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
私は、このオキザリスも知らない頃、葉の色の変わったカタバミだと思っていました。
カタバミも可愛い花ですね。

ひとりしずか  
No title

ちょっと見カタバミ?と・・
オキザリスなんですね
この花色あまり見たことないような~
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
形はまさにカタバミですね。
葉の色が違うカタバミだと初見のときは私もそう思いました。