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[答664] 五角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答664] 五角形の面積


 AB=BC=CD=DE=EA=2,∠B=∠E,∠C=∠D,cos∠A=-(√7)/4 の 五角形ABCDEの面積は?


[解答]

 余弦定理より BE2=AB2+AE2-2AB・AEcos∠A=22+22+2・2・2(√7)/4=8+2√7 、

 BE=√7+1 、BE-CD=√7-1 になります。

 △ABEにおいて、BEを底辺とすると高さは

 √{22-(BE/2)2}=(1/2)√(42-BE2)=(1/2)√{16-(8+2√7)}=(1/2)√(8-2√7)=(√7-1)/2 、

 △ABE=(1/2)・(√7+1)・(√7-1)/2=3/2 になります。

 等脚台形BCDEおいて、BE,CDを上底,下底とすると高さは

 √{22-(BE/2-CD/2)2}=(1/2)√{42-(BE-CD)2}=(1/2)√{16-(√7-1)2}=(1/2)√(8+2√7)

  =(√7+1)/2 、

 等脚台形BCDE=(1/2)・(√7+1+2)・(√7+1)/2=5/2+√7 になります。

 ∠Aの内角が 180゚ より 小さい場合,大きい場合があるから、

 五角形ABCDE=等脚台形BCDE±△ABE=5/2+√7±3/2=4+√7,1+√7 です。

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Comments 19

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます
ランタナのお花色とりどりで可愛いです。。
大和なでしこ七ヘンゲ~ナイスです

ニリンソウ  
No title

おはよう!
初雪になった朝です。。。寒い
ランタナ綺麗ですね~

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「4+√7」=6.645...を得、安堵。その状態で、解答送信体制にはいりましたが、直前に「あれ!」と気づきました。

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

今日も:(;゙゚'ω゚'):サムィーです
あまりの寒さに参りました

ランタナ✿ほっこりします•( ◜◡‾)(‾◡◝ )

ナイス!☆

こっこちゃん  
No title

タンタナ
まだ美しい色で
咲いてるのですね
7変化で 気を 明るくしてくれますよね ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
さすがに…Big 3 は違いますね☆…わたしゃ...
「あれ!」と思うこともなく...見事に引っかかった口です ^^;
以前にもあったような気がしますが...
やどかりさんが「凸」とか形容されない場合は、これでしたのに…
学習能力にも乏しかりけり…Orz…

これから学会行です ^^

たけちゃん  
No title

これは見事にひっかかり,一度「一方のみ」を送信してしまいました.
(もちろん凸五角形の方です.凹五角形だけを思いつく人はまずいないでしょう.)

[解答]中の2つの高さの2乗の和が4であることから,
AB,AE,BCを斜辺とする,左図の破線を一辺にもつ3つの直角三角形はすべて合同であり,
凸五角形では∠B=∠E=90°,
面積は,△ACD(底辺CD,高さは[解答]中の2つの高さの和)と,(2*2/2)*2の和となり,
凹五角形は,CDを一辺とし,BE上に対辺をもつ長方形と面積は等しくなりますね.

ところで,cos∠A とありますが,∠Aとはどこでしょうかね.
つまり,右図において,sin∠Aは正なのか負なのか,ということです.
出題日の朝,問題文は数回書き換えられていたと思います.
「内角のこと」との注釈が一度ついて,また消えたように記憶しています.
cosならばどちらでも同じなのですが,題意として,
何を指しているのかは,あいまいでない方がよさそうにも思えるのですが...

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ランタナの花は非常に長い間咲くので、つい後回しにしてしまいます。
僅かに実が写っていますが、もうアップして欲しいと言っているようでした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難う御座います。
ランタナの色は鮮やかですね。
長い間、何度も元気をもらっています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
朝には雨になっていましたが、此方でも夜中に初雪が降ったそうです。
其方は雪国、さぞ積もっていることでしょうね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
直前に気づかれたとのことですが、流石に見落としはありませんね。
凹図形の存在を常に考慮してほしいという問題でした。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
今朝は本当に寒い朝でした。
このランタナも履中天皇陵の近くを散歩していて撮りました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ランタナには単色のものとこのように色の混ざったものがありますが、
この色をよく見かけますので、ランタナといえば真っ先にこれが浮かびます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
以前に使ったのは、立体の展開図から体積を求める問題だったと思います。
凹図形の存在を忘れないで欲しいという問題です。
それで図を入れませんでした。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
問題文を読み直してみて、∠A を内角と指定する方がよいようにふと思って、
そのように1行入れたのですが、優角でも劣角でも cos∠A は等しいので、
わざわざ書くとかえって不自然だと思って削除しました。
cos∠A から sin∠A を求めると ±3/4 になるので、
自然に両方が出てくることも、削除した理由です。
1度1行を入れてそれを削除したことは、そういった迷いからでした。

アキチャン  
No title

おはようございます。
ランタナ、色あざやかできれいですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ランタナは鮮やかな花の色が長らく見られます。
つい、アップを後回しにしていたら、花の少ない時期になりました。

ひとりしずか  
No title

2色の配色鮮やかで~
でもケバケバしくなくて好きです(^^♪
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ランタナはこの色を一番よく見かけます。
長い間咲いてくれている花です。