FC2ブログ

Welcome to my blog

[答665] 最小の弦の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答665] 最小の弦の長さ


 図のように、3辺が 15,24,27 の三角形があり、その1つの頂点を通り、対辺に接する円と、

 他の2辺との交点を P,Q とするとき、PQの長さの最小値は?


[解答]

 円の半径をR,円が通る頂点を A,PがAB上,QがAC上にあるものとすれば、正弦定理より、

 PQ=2RsinA だから、この円が最小になるときに PQ は最小になります。

 従って、PQ を最小にするのは、AからBCにおろした垂線を AH として、AHを直径とするときです。

 次に、BC=a,CA=b,AB=c,△ABC=S とすれば、2S=bc・sinA ,2S=a・AH だから、

 PQ=2RsinA=AHsinA=(2S/a){2S/(bc)}=4S2/(abc) になります。

 従って、どの頂点から対辺に垂線をおろしても、その足が対辺上にあれば、

 PQの最小値は 4S2/(abc) になります。

 鋭角三角形ならどの頂点から対辺に垂線をおろしてもその足が対辺上にあり、

 直角三角形や鈍角三角形であっても、最大角の頂点から対辺に垂線をおろすとその足が対辺上です。

 本問の場合、

 (15+24+27)/2=33 だから S2=33(33-15)(33-24)(33-27)=33・18・9・6 、

 PQ=4・33・18・9・6/(15・24・27)=66/5 になります。


☆ ここで改めて △ABCの面積をS,外接円の半径をR とすれば、

 PQの最小値は 4S2/(abc)=4S2/(4RS)=S/R で、面積と外接円の半径で決まります。

.

スポンサーサイト



Comments 15

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

こんな色もあるんですね!
今頃でも路地で咲いてるものなんですね

ナイス

樹☆  
No title

はぁ~
なんて可愛いの~
ひと色のランタナってたくさんあるのですね。。
ありがとう♬

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
びっくりな発見!!
新しい定理じゃないのかな? ^^
わたしゃ...いっぱい計算したから…気付けませんでした ^^;…
△の不思議な性質がまた一つ露にされましたね♪

tsuyoshik1942  
No title

きれいな事象ですね!3条件で同じ値をとり、その姿も美しいです。
前にもありましたが、「ヤドカリの定理」と称しても良さそうな事象の一つと思います。

自分の解法は、大きく遠回りをしていました。2度目(昨日の段階)でようやく、解答らしくなったのですが、それさえも遠回りでした。
正弦定理を使いこなせておりませんでした。

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

こちらも!小ぶりですが~小さく咲いてます(*^_^*)✿
:(;゙゚'ω゚'):サムィー時にお花を見ると温かい気持になりますよね。

ナイス!☆

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
白とこの色をよく見ます。
今も路地でよく見かけるランタナは有難いです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
1色のランタナも時々見ます。
黄色も見ますが、今年は撮り損ねました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
頂点が3個あるので、全部調べるのが大変です。
こんな場合はやはり一般化して文字で求めるのが能率的というものです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
3条件で同じ値をとり美しいと私も思います。
それを見つけて出題に至ったのですが、
既に同じことを先人が気づいているかも知れません。
調べても見つかりませんでした。

ヤドカリ  
No title

cyu*c*uuj*さん、早速のコメントとミスの指摘を有難う御座います。
次の行も同じタイプミスをしていましたので、早速訂正しました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
寒いけど、暑い時期からランタナは元気に咲いてくれています。
そして仰るように、気持ちを暖かくしてくれます。

uch*n*an  
No title

個人的には,条件が少しキツイ気がして定理というにはちょっと,という気もしますが,
一般に,対辺又はその延長に接する,と拡張して,
三角形のどの頂点と辺を選んでも同じ結果,というのはとても美しいと思います。
最初見たときは面倒そうだな,と思ったのですが,
仕事で移動中に,正弦定理,外接円,と気付き,とても楽しい問題,そして,事実,になりました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は、「三角形のどの頂点と辺を選んでも同じ結果」ということに気づいて、
作問しました。
三角形だけでも、知らない性質がまだまだありそうです。

ひとりしずか  
No title

ランタナだったんですね!
この色のランタナははじめてのような・・・
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
これもランタナです。
白のランタナと一緒に見かけることが多いです。