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[答669] 点対称の数との差

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答669] 点対称の数との差


 1,6,8,9 の4種類の数字だけでできる3桁の自然数 64個について、

 180゚回転してできる数を ~ をつけて、189~=681 のように表すことにします。

 このとき、n~-n=30 を満たす3桁の自然数 n は? また、|n~-n| の総和は?


[解答]

 |189~-189|=|681-189| 、|681~-681|=|189-681| のように、

 n=a,a~ について、|n~-n| の値は等しくなります。

 従って、|n~-n| の総和は n~>n を満たすものの n~-n の総和の2倍になります。

 n~>n を満たすものについて、百の位と一の位の組は、次の(a)(b)の2種類の場合があります。

  (a) (百の位,一の位)=(1,1),(6,9),(8,8),(9,6)

  (b) (百の位,一の位)=(1,6),(1,8),(1,9),(6,6),(6,8),(8,6)

 (a)の場合は十の位が 6 のときのみ n~>n となり、n~-n=30 です。

 (b)の場合は 180゚回転してできる数の百の位と一の位の組は

  (百の位,一の位)=(9,1),(8,1),(6,1),(9,9),(8,9),(9,8)

  この中で n~-n が最小になるのは 968-896=72 なので、

 n~-n=30 になる n は (a)の場合の 161,669,868,966 です。

 n~-n の総和は、

 (a)の場合が 30・4=120 、

 (b)の場合は

  十の位が 1,6,8,9 の4種類ずつですが、180゚回転すると 1,9,8,6 で、引くと相殺されます。

  従って、百の位と一の位だけで計算できます。

  n~-n の百の位は {(9+8+6+9+8+9)-(1+1+1+6+6+8)}・4=26・4=104 、

  n~-n の一の位は {(6+8+9+6+8+6)-(1+1+1+9+9+8)}・4=-14・4=-56 、

  従って、その合計は 10400-56=10344 、

 (a)(b)を合わせて、n~-n の総和は、120+10344=10464 で、

 |n~-n| の総和は 10464・2=20928 です。


[参考]

 k桁の数について |n~-n| の総和を Sk とすれば、

 Sk+2=40Sk+2(26・10k+1-14)・4k=40Sk+(13・10k+1-7)・4k+1 になります。

 S1=6 より、S3=40S1+(13・102-7)・42=20928 ,S5=40S3+(13・104-7)・44=34115328 ,……

 S2=492 を計算しておけば、S4=40S2+(13・103-7)・43=851232 ,……

 のように求められます。

.

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Comments 19

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます。
ピタカンサの実がたわわで・・なんだか観てるだけで
力強い生命力を感じちゃう。。
ナイスです

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
これは解りました「ピラカンサ」でしょう。
常緑の葉に赤い実いいですね

ナイス

Yasuko  
No title

☆。◕‿◕。)ノ♡☆,。・:*:・゚おはよ~☆彡

ピラカンサの実ですね
食べたくなるような~^^

今日ゎ一段と冷えて:(;゙゚'ω゚'):サムィーです

ナイス!☆

tsuyoshik1942  
No title

下記にようなスマートな計上方法があると思ったのですが、
>n~-n の百の位は {(9+8+6+9+8+9)-(1+1+1+6+6+8)}・4=26・4=104 、
> n~-n の一の位は {(6+8+9+6+8+6)-(1+1+1+9+9+8)}・4=-14・4=-56 、
> 従って、その合計は 10400-56=10344 、

自分は、次の部分だけは同様に考察し、直に計上しました。
>十の位が 1,6,8,9 の4種類ずつですが、180゚回転すると 1,9,8,6 で、引くと相殺されます。

n=901,106の時:901-106=795
n=801,108の時:801-108=693
n=601,109の時:601-109=492
n=809,608の時:809-608=201
n=908,806の時:908-806=102
n=606,909の時:909-606=303
これ等には4例あるので(795+693+492+201+303+102)*8=20688
20688+240=20928
2度、解答送信しました。最初は飛び道具を使用

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
どの言葉が拙いのかは分かりませんが、フィルタリングにかかり、
未承認になっていましたので承認しました。
ピラカンサの実も終わりに近づき、慌てて撮りました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
この実は分かり易いですね。
真っ赤な実がよく目立ちます。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ピラカンサの実はよく目立ちますね。
ところで、寒冷前線の通過でかなり寒くなりました。
明日の朝はもっと冷え込むそうです。起床に勇気が必要ですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
不規則な数字を使う問題ですので、
綺麗には解けませんでした。
解答を作っても、もっと能率よく出来るかどうか、自信はありません。

樹☆  
No title

こんばんは
コメント投稿したら未承認・・やどかりさんの設定だと思ってました。。
わたしのことばにフィルタリング?
有害なことばがあった?

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これも手こずりました…^^;
大きい数から小さいものを引いた和の倍にすればいいことには気付け...グループ分けするもすったもんだ...ののち…
やっとたどり着けましたぁ ^^;;
次々と面白い問題を見つけられるものですねぇ☆…Orz~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
以前にきわどいコメントをくれた人がいて、
フィルタリング機能が働きましたが、
今回のコメントには見当たりません。
何か分かりませんが、相性の悪い言葉があるのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
どのように工夫すればいいのか、考えてくださいという問題でした。

樹☆  
No title

そうなのですね~
よくわかんないけど^^

カスタム背景すてきです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再々度のコメントを有難う御座います。
フィルタリングは分かりません。
カスタム背景は、HTMLモードで書いた記事の文字の大きさが
変わらないよう修正されたので、使えるようになりました。

たけちゃん  
No title

[解答]の(b)の場合にn~-n≠30であることは,
n~の一の位とnの一の位が等しくならないことからもわかりますね.

結局同じことですが,私は,nとn~の大小を仮定せず,
(a') n~とnの一の位が(百の位も)等しいもの
(b') n~とnの一の位が(百の位も)等しくないもの
に分類して考えました.

(a') については,|n~-n|の和は(9-6)*10*4*2=240.
(b') について,
n,n~の百の位に9があるものは,他方の一の位は6で,
9でない百の位が9より大なし,9より小3通り.
十の位が4通り,n,n~の入れ替えも考えて,
|n~-n|の「9」による和は(900-6)*(3-0)*4*2.
同様に,8があるものは,「8」による和は(800-8)*(2-1)*4*2.
6があるものは,「6」による和は(600-9)*(1-2)*4*2.
1があるものは,「1」による和は(100-1)*(0-3)*4*2.

たけちゃん  
No title

海の背景も素敵でしたね.
ただ,過去のコメントを確認したところ,
前にカスタム背景だったときと同じで,
字体が少し数学に不向きな感じがありました.
(私は「π」が気になりました.)
背景によって字体が影響を受ける必要はなさそうなのに,
少し残念ですね.

アキチャン  
No title

こんにちわ。今頃になりました。。
見るだけでコメント忘れてましたf(^。^;

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
みなさん、結局は等価な解き方をされていましたので、
私の解答だけを載せました。
ところで、
カスタム背景を使いたいのですが、記事を投稿するときも元に戻してからでないと、
今までと同じ字体・文字サイズにならないので元に戻しました。
そして、Yahoo!の公式ブログに要望を出しておきました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、わざわざコメントを有難う御座います。
ピラカンサの赤が目立ちました。