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[答670] 繰り上がりのない足し算

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答670] 繰り上がりのない足し算


 a,b,c はすべて3桁の自然数で、a<b<c とします。

 a+b+c を筆算で計算するとき全ての位で繰り上がりがない(a,b,c)は何通り?

 当然 a+b+c<1000 です。


[解答]

 一般化して、n桁の自然数 a,b,c (a<b<c) で、a+b+c が繰り上がりがない場合の数を求めます。

 まず、a<b<c の条件をはずして考えます。

 それぞれの位の和は、その位の3数の和≦9 で、

 先頭の位は自然数解だから、 93=84 通り、

 先頭以外の位は 0 以上の整数解だから、 103=220 通りあります。

 従って、全部で 84・220n-1 通りです。

 そのうち、a=b=c の場合は、先頭の位は 1,2,3 で、先頭以外の位は 0,1,2,3 だから、 3・4n-1 通りです。

 また、a,b,c のうち、2つだけが等しい場合は、

 等しい2数の先頭の位が 1,2,3,4 のとき、他の数の先頭の位はそれぞれ 7,5,3,1 通りの計 16 通り、

 等しい2数の先頭以外の位については 0,1,2,3,4 のときそれぞれ 10,8,6,4,2 通りの計 30 通り、

 よって、a,b,c への対応を考えて、3(16・30n-1-3・4n-1) 通りです。

 条件 a<b<c を満たす場合の数は、

 {84・220n-1-3(16・30n-1-3・4n-1)-3・4n-1}/6=(84・220n-1-3・16・30n-1+2・3・4n-1)/6

  =14・220n-1-8・30n-1+4n-1 通りになります。

 3桁の自然数 a,b,c (a<b<c) で、a+b+c が繰り上がりがないのは 670416 通りです。

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Comments 15

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こっこちゃん  
No title

おはようございます

真っ赤な実ですね

クロガネモチの 実ですかね
この実が沢山」できると 裕福な歳になるとか ウフ、、ないす☆

ニリンソウ  
No title

何だろうね~じっと見つめました!
ユズリハに似てる葉、でもあの実は黒い
やっぱりクロガネモチでしょう。

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます
クロガネモチというのですね。。この色もすてき
ツヤツヤですね。
ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答」逐行追跡し、ようやく、よく理解できました。自分は
n桁のa,b,cの形態を
①a<b<c:P(n)②a=b<c or a<b=c:Q(n)③a=b=c:R(n)と区分した時、
R(n+1)=R(n)*4
Q(n+1)=Q(n)*30+R(n)*26
P(n+1)=P(n)*220+Q(n)*95+R(8n)*23となることを確かめ、
R(1)=3,Q(1)=13,P(1)=7から順次「漸化」し、P(n)が7,2844,670416,148856064と推移すること得ました。
ここから、「n桁の一般式」の求式に挑みましたが、そのゴールは成りませんでした。
いずれにしろ、大変苦労しました。
そういえば、このところの数問、いずれも四苦八苦しております。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
いかにも簡単そうに見えても歯が立たないってなのは精神衛生的によくないので...けっきょく諦めが肝心ってことに ^^; Orz~
読んでもいまだ咀嚼できてましぇん…^^;;
こういうのがすっきり考えられる頭がわたしも欲しい~☆

Yasuko  
No title

(*^・ェ・)ノ コンチャ♪

クロガネモチ!錦織公園にも生ってますが~
ナナミノキにも似ています!
似たもどきの実が多いので~(笑)

ナイス!☆

ヤドカリ  
No title


写真の植物はナナミノキ、モチノキ科の植物の一種です。
本州静岡以西、四国、九州の山地に自生する常緑高木で、
ナナメノキともいいます。
名前の由来については、
赤く美しい果実がたくさんなる様子から「七実の木」、
楕円形の果実の先が少し曲がっているので「斜めの木」
とも言われます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
上に書きましたように、ナナミノキです。
クロバネモチで裕福になるのなら、は明日にでもアップします。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
写真の植物は多分其方にはないナナミノキです。
よく似た感じで赤い実をつけるのでクロガネモチにも見えますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
上に書いたように、ナナミノキです。
クロガネモチの写真は明日にでも使います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
難しい問題を続けているわけではありませんが、
問題番号が私に面倒な問題を与えてくれているのでしょうね。
それにしても、4桁まで求めるのは面倒だったと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
ふと何種類あるかと気になって求めると問題として成立しました。
偶然にこのような問題を思いつくと精神衛生上いいものです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
花の文化園のバラ園前に道を隔ててあります。
ナナメノキと書いたプレートがかかっています。
毎年、この赤い実を見ています。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
赤い実はどれも好きです!鳥ではないけど(笑)(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この時期は赤い実がよく目立ちますね。
ひょっとして、前世は鳥?