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[答671] 六角形の面積

ヤドカリ

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[答671] 六角形の面積


 △ABCがあり、その外部に BC,CA,AB を斜辺とする3つの直角二等辺三角形BKC,CLA,AMB を描きます。

 LM=30,MK=24,KL=36 のとき、六角形AMBKCLの面積は?


[解答]

 △ABC=S,△BKC=P,△CLA=Q,△AMB=R とします。

 LM2=AM2+AL2-2AM・ALcos∠MAL=AM2+AL2-2(AB/√2)(AC/√2)cos(∠BAC+90゚)

  =AM2+AL2+AB・ACsin∠BAC=2Q+2R+2S より、

 Q+R=LM2/2-S 、同様に、R+P=MK2/2-S 、P+Q=KL2/2-S 、

 Q+R=450-S 、R+P=288-S 、P+Q=648-S 、

 Q-R=360 、R-P=-198 、P-Q=-162 、P+Q+R=693-3S/2 になります。

 16S2=(BC+CA+AB)(-BC+CA+AB)(BC-CA+AB)(BC+CA-AB)

  =2CA2AB2+2AB2BC2+2BC2CA2-BC4-CA4-AB4

  =2・4Q・4R+2・4R・4P+2・4P・4Q-(4P)2-(4Q)2-(4R)2

 S2=2QR+2RP+2PQ-P2-Q2-R2=(6QR+6RP+6PQ-3P2-3Q2-3R2)/3

  ={(P+Q+R)2-2(Q-R)2-2(R-P)2-2(P-Q)2}/3={(693-3S/2)2-2・3602-2・1982-2・1622}/3

  =(480249-2079S+9S2/4-259200-78408-52488)/3=3S2/4-693S+30051 、

 S2+2772S=120204 、(S+1386)2=2041200 、S=-1386+540√7 です。

 六角形AMBKCL=P+Q+R+S=693-S/2=693-(-1386+540√7)/2

  =1386-270√7=671.647146…… です。


☆ 一般化して求めると、六角形AMBKCL=(LM2+MK2+KL2)/2-2△KLM になります。

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Comments 10

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樹☆  
No title

おはようございます
南京ハゼでしょうか。。
葉っぱが紅葉した姿はとても美しいですね。

tsuyoshik1942  
No title

苦戦しましたが、最終的には一般式までたどり着きました。
初めは、K,L,M点を座標に取り、ゴリゴリ計算をしましたが、ゴール出来ませんでした。
「解答」と同じように、「△AKLの余弦定理」+「<KAL=<BAC+90」の適用、それからSの方程式をつくり、解きました。

スモークマン  
No title

>グーテンターク ^^
余弦定理&ヘロンの公式を駆使して解きましたぁ ^^v
一般式までは求められませんでしたけど…^^;
よく見かけるようで初見だったりの問題でしたか☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
綿の実のように見えてます。。でも、今頃なるのかしらf(^。^;

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、ナンキンハゼです。
実がはじけた姿が面白く、撮ってみました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
一般化すると、こんな式になるのですね。
問題作りは一般式を求めて、数字を設定するのが楽です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
ナポレオンの三角形からの連想で作問しました。
それで、よく見かけるとうな気がされたのかも知れません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
見方によっては綿のようにも見えますが、
実物は綿よりかなり小さく、写真では分かりにくいですね。

ニリンソウ  
No title

弾ける頃になりましたね!
黒と白、今日もみたけど青空の日に撮ろうかなと。
ナンキンハゼにシジュウカラ見たことあります

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
弾けているのも弾けていないものもありました。
晴れていたら良かったのですが、この日はこのあと急に雨が降り、困りました。