FC2ブログ

Welcome to my blog

[答672] 約数の和

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答672] 約数の和


 自然数 n に対して、その正の約数の和を S(n)で表すことにします。

 例えば、S(6)=1+2+3+6=12 になります。

 では、S(n)=3n を満たす3桁の自然数 n の値は?


[解答]

 まず、互いに素な a,b に対して、S(ab)=S(a)S(b) になります。

 p を素数として、S(pk)=(pk+1-1)/(p-1)<pk+1/(p-1) より、

 S(pk)/pk<p/(p-1) になります。

 n が奇数であれば、3・5・7・11>1000 だから、4個以上の素因数をもつ3桁の数はありません。

 n が3個以下の奇素数だけを因数とする自然数であれば、

 S(n)/n<(3/2)(5/4)(7/6)=35/12<3 、S(n)<3n で適しません。

 よって、n は偶数しか考えられず、n=2km (m は奇数) と表せます。

 m=n/2k<1000/2k で、

 S(2km)=3・2km 、(2k+1-1)S(m)=3・2km 、S(m)=3・2km/(2k+1-1) になります。

 まとめると、m は 1000/2k 未満の奇数で、S(m)=3・2km/(2k+1-1) です。

 k=1 のとき m は 499以下の奇数、S(m)=2m 、

  m が2個以下の奇素数だけを因数とする自然数であれば、

  S(m)/m<(3/2)(5/4)=15/8<2 、S(m)<2m で適しません。

  従って、m は3個以上の奇素数 p,q,r を含むことになりますが、

  S(p),S(q),S(r)は偶数になりますので、奇数の2倍である 2m と等しくなるためには、

  m≧32・52・7 となって、m≦499 を満たしません。

 k=2 のとき m は 249以下の奇数、S(m)=12m/7 だから、m は7の倍数で、

  7の倍数でない奇数 p を使って、

  m=49p と表されるとき、S(49p)=12・49p/7 、57S(p)=84p 、S(p)=28p/19 、

  p は19の倍数になり、m≦249 を満たしません。

  m=7p と表されるとき、S(7p)=12・7p/7 、8S(p)=12p 、S(p)=3p/2 、

  p が奇数なので成り立ちません。

 k=3 のとき m は 124以下の奇数、S(m)=8m/5 だから、m は5の倍数で、

  5の倍数でない奇数 p を使って、

  m=25p と表されるとき、S(25p)=8・25p/5 、31S(p)=40p 、S(p)=40p/31 、

  p は31の倍数になり、m≦124 を満たしません。

  m=5p のとき、p≦24 で、S(5p)=8・5p/5 、6S(p)=8p 、S(p)=4p/3 、p は3の倍数、

  S(3)/3=4/3,S(9)/9=13/9,S(15)/15=8/5,S(21)/21=32/21 だから、

  S(p)/p=4/3 を満たすのは、p=3 のときだけで、n=23・5・3=120 です。

 k=4 のとき m は 62以下の奇数、S(m)=48m/31 だから、m は 31の倍数で、

  S(31)/31=32/31 は S(m)/m=48/31 を満たしません。

 k=5 のとき m は 31以下の奇数、S(m)=32m/21 だから、m は 21の倍数で、

  S(21)/21=32/21 は S(m)/m=32/21 を満たし、n=25・21=672 です。

 k≧6 のとき m は 15以下の奇数、S(m)=3・2km/(2k+1-1) より、

  m は 2k+1-1 の倍数 または (2k+1-1)/3 の倍数 だから、

  (26+1-1)/3=127/3 以上になり、15以下であることに反します。

 結局、n=120,672 だけが適することになります。


[参考]

 S(n)=3n を満たす自然数 n を3倍完全数といいます。

 3倍完全数は、120,672,523776,459818240,1476304896,51001180160,……

.

スポンサーサイト



Comments 14

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます
これもすてきですねぇ~
真ん中がほんのりピンクで可愛いです^^
フリルがまたすてき。。なぁいす

アキチャン  
No title

おはようございます。
少し小ぶりのハボタンでしょうか。。
並ぶと可愛いですね(o^-^o)

Yasuko  
No title

(*^・ェ・)ノ コンチャ♪

葉ボタン✿これも可愛いですね
冷たい雨がが降り寒いです:(;゙゚'ω゚'):サムィー
今年はこたえますぅ~^^;

ナイス!☆

ニリンソウ  
No title

今日は色違いですね
曇りだけど風もなく静かでまた山を歩いてきました。
明日は荒れそうですね

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
城攻めの仕方の勉強になりました☆
わたしゃ…アバウトにしか解けませんでした…^^;…Orz
奇数の完全数が存在しないかどうかが同じような方法で導かれないんですかねぇ…?...

tsuyoshik1942  
No title

「解答」は、まだ読みきれておりません。いずれにしろ、難儀な問題だったのですね!

自分は、n=2^a*3^b*5^c*7^d*...のとき、S(n)=S(2^a)*S(3^b)*S(5^c)....
そこで、個々の素数の次数によるS(n)を下記のように列記し、
2:3/2,7/4,15/8,31/16,63/32,127/64,255/128,511/256,1023/512....
3:4/3,13/9,40/27,121/81,364/243
5:6/5,31/25,156/125,781/625
7:8/7,57/49,400/343
11:12/11,133/121 13:14/13,183/169 ....
これ等の分数のいくつかを選び、分母を乗じた値が3桁の数値となり、分子を乗じた値がS(n)であるので、分数の乗算が「3」になればよい。
この後は、試行錯誤の嵐、「解いた!」との実感は持てませんでした。
「完全数」前にここで、勉強した記憶が甦りました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このコメントが私のブログにとって40000番目のコメントです。
いつもコメントを頂き有難う御座います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
すぐそばに大きいのもありましたが、
少し小ぶりな葉牡丹の方が綺麗に撮れました。
並んでいるのも綺麗です。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
これも千代田駅近くで撮ったものです。
この頃の寒さはこたえますが、葉牡丹は元気でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
此方では、未明からの雨で、今日の天気は悪かったのですが、
明日は少し回復しそうです。
西から天気が変わりますので、今日のうちに行かれて正解ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
奇数の完全数が存在しないかどうかが同じような方法で導けたら、
多分、何世紀も前に解決していると思います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
貴殿の方法はある程度の目星をつけるのに有効な方法ですね。
ただ、この手の問題はかなり面倒で、
プログラムでも組まないと見落としがありそうです。

uch*n*an  
No title

これはなかなか面倒な問題でした。
いろいろあって解法の詳細は書けませんでしたが,私もほぼ[解答]と同じでした。
若干違うのは,k = 1 のときはこの辺りでは奇数の完全数は見つかっていないことから,
ぐらいでしょうか。
3倍完全数という言葉は知りませんでした。
普通の完全数では奇数が見つかっていないのは有名ですが,
3倍完全数の示されている例もすべて偶数ですね。
やはり奇数は見つかっていない,若しくは証明できる?,のでしょうか?

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この手の問題は、他の数学との関連もあまりなく、
面倒なのであまり解く気になれませんが、
数としては面白いですね。
調べてみると、3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、
6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており、
それ以上は存在しないと言われているそうです。
1倍完全数の1以外には奇数は見つかっていないとのことです。