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[答673] 余りが1

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答673] 余りが1


 289÷2 ,289÷8 ,289÷9 のどの計算も余りが 1 になります。

 289 のように、3種類の数字をもつ3桁の自然数で、どの位の数で割っても余りが 1 になるものは?

 なるべく能率よく求めて下さい。もちろん 0,1 を使わない自然数です。


[解答]

 3種類の数字がすべて奇数の場合はもちろん、偶数が混じっても余りが 1 なので一の位は奇数です。

 また、5で割った余りが 1 であれば、一の位は 1,6 なので、5は使えません。

 従って、一の位は 3,7,9 のいずれかになります。

 一の位が 9 の場合、百の位と十の位の和が 10 だから、

  289,379,469,649,739,829 ですが、条件に合うのは、289,379,469,649 です。

 一の位が 3,7 の場合、

  4で割った余りが 1 になるのは 十の位が奇数のときだから、十の位には 4,8 は使えません。

  また、397,793 は7で割った余りが 1 にならないので、十の位には 9 は使えません。

  よって、十の位は 2,3,6,7 のいずれかです。

  更に、下2桁を百の位で割った余りは 1 です。

 一の位が 3 の場合、

  十の位が 2 のとき、百の位は 22 の約数で 2 、223は3種類の数字をもちません。

  十の位が 6 のとき、百の位は 62 の約数で 2 、263÷6 は余りが 1 ではありません。

  十の位が 7 のとき、上2桁を3で割った余りが 1 になるのは 37,67,97 、

  373,673,973 のうち、条件に合うのは、673 です。

 一の位が 7 の場合、

  十の位が 2 のとき、百の位は 26 の約数で 2 、227は3種類の数字をもちません。

  十の位が 3 のとき、上2桁を7で割った余りが 5 になるのは 33 、3種類の数字をもちません。

  十の位が 6 のとき、百の位は 66 の約数で 2,3 、267÷6 ,367÷7 は余りが 1 ではありません。

 以上をまとめると、289,379,469,649,673 です。

 なお、同じ数字を使ってもよい場合は、223,337,433,477 が加わります。


[参考] たけちゃんさんのコメントより

 プログラムで求めると、以下のような結果が出たようです。

 3桁:289,379,469,649,673 の5個,

 4桁:2437,4873 の2個,

 5桁:23689,24697,27469,28369,32689,36289,42673,46873,47629,62497,
    62749,63289,68329,82369,84673,86329 の16個,

 6桁:348769,364897,376489,487369,673849,684937,689473,736849,837649,843697 の10個

 私も確かめたところ、同じ結果を得ました。7桁以上は存在しません。

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Comments 16

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます
寒い朝です。防寒しっかり必要ですね。。
今日の色具合もすてきです。
つぼみからこのくらいの開花がふわぁと感じて
とてもいいです。ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と同じく、まず、1の位が(3,7,9)であることを確かめました。
その後、「絞込み+試行錯誤」で進みました。
試行錯誤の嵐で答を探した前題に比べると、その量は、納得できる範囲でした。

アキチャン  
No title

おはようございます。
優しい色にニコッ♪です(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
abc
100a+10b=cx+1 から、c=3,7,9 とし…

あとは効率悪く調べ上げましたが...そのおかげで抜けてしまったりを繰り返してしまいました…^^;
やどかりさんの解答追え切れていません…熟読玩味ぃ~Orz~

ニリンソウ  
No title

今日はピンクのバラを
ありがとう!

ナイス

こっこちゃん  
No title

すてきな 色のバラですね

寒くなりましたね
健康に 気を付けてくださいね ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
これもバラ園に咲き残っていたものです。
色も開花状態も気に入りました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
前題は3倍完全数という決着されていないものについて、
範囲を絞ったものですが、かなりの試行錯誤が必要でした。
本題は1の位がすぐに分かるので試行錯誤も少ないですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
「芳純」という名前の優しい色のバラが咲き残っていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
そこまで分かっていたらあとは注意力ですね。
お疲れ様でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
「芳純」という名前のピンクの薔薇でした。
ちょうどうまい具合の開き方でした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
此方も今日は特別に寒いです。
積もりはしませんでしたが、雪が舞いました。

たけちゃん  
No title

プログラムで求めてみました.
3桁: 289,379,469,649,673 の5個,
4桁: 2437,4873 の2個,
5桁: 23689,24697,27469,28369,32689,
36289,42673,46873,47629,62497,
62749,63289,68329,82369,84673,
86329 の16個,
6桁: 348769,364897,376489,487369,673849,
684937,689473,736849,837649,843697 の10個
のようです.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
内容は本文に[参考]として加えさせて頂きました。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
一応確認 ^^
2桁…ab…b=am+1,10a=bk+1…b=3,7,9…a=2,(3,6),(2,4,8)
23,37,67,29,49,89...すべて駄目なのでなし...
7桁は…0,1,5以外だと2が加わることになるから…3の倍数になってしまうからないわけね…^^…Orz

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
仰るとおりです。
何桁でも、一の位は 3,7,9 以外には考えられず、5 は使えませんので、
2桁の場合は、条件に合う数がないことは調べればすぐに分かります。
7桁の場合は 2,3,4,6,7,8,9 を使うことになり、
どのように並べても3の倍数ですので、条件に合いません。