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[答674] 長方形内の菱形の1辺

ヤドカリ

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[答674] 長方形内の菱形の1辺


 AB:BC=5:7 の 長方形ABCDの 辺AB,BC,CD,DA上に それぞれ 点P,Q,R,S をとり、

 面積が 2520 の 菱形PQRSをつくるとき、この菱形の1辺の長さは?


[解答1]

 SR,BCの延長の交点を T とすれば、PQ//SR ,CT//SD より △PBQ∽△RCT∽△RDS になり、

 PQ=RS だから、△PBQ≡△RDS になります。

 AB=5k,BC=7k,PB=RD=x,BQ=DS=y とおけば、QC=7k-y,RC=5k-x です。

 菱形の1辺の2乗は PQ2=QR2 だから、

 x2+y2=(7k-y)2+(5k-x)2 、x2+y2=49k2-14ky+y2+25k2-10kx+x2

 10kx+14ky=74k2 、5x+7y=37k ……(1) 、

 長方形の面積は 菱形の面積と4個の三角形の面積の和 だから、

 5k・7k=2520+xy+(7k-y)(5k-x) 、35k2=2520+2xy-7kx-5ky+35k2

 (7x+5y)k=2520+2xy ……(2) 、

 (1),(2)を辺々乗じて、(5x+7y)(7x+5y)k=37k(2520+2xy) 、(5x+7y)(7x+5y)=37(2520+2xy) 、

 35x2+74xy+35y2=37・2520+74xy 、x2+y2=37・2520/35=37・72 、

 よって、PQ=√(x2+y2)=(√37)(6√2)=6√74 です。


[解答2]

 SR,BCの延長の交点を T とすれば、PQ//SR ,CT//SD より △PBQ∽△RCT∽△RDS になり、

 PQ=RS だから、△PBQ≡△RDS になります。

 また、PQ2=QR2 と三平方の定理により、

 BP2+BQ2=CQ2+CR2 、(BP+CR)(BP-CR)=(CQ+BQ)(CQ-BQ) 、

 (DR+CR)(BP-CR)=(CQ+BQ)(CQ-BQ) 、CD(BP-CR)=BC(CQ-BQ) 、

 (BP-CR):(BQ-CQ)=BC:CD=7:5 になります。

 ここで、PR,QSの交点をOとすれば、

 四角形OQCR は円に内接するから、OR・CQ+OQ・CR=OC・QR 、OP・CQ=OB・PQ-OQ・CR ……(1) 、

 四角形OPBQ は円に内接するから、OP・BQ+OQ・BP=OB・PQ 、OP・BQ=OB・PQ-OQ・BP ……(2) 、

 (1),(2) より、OP(CQ-BQ)=OQ(BP-CR) 、OP:OQ=(BP-CR):(BQ-CQ)=7:5 、

 OP=7k,OQ=5k として、OP・OQ=(菱形PQRS)/2 より 35k2=2520/2 、k=6 、

 PQ=√(OP2+OQ2)=k√(72+52)=6√74 です。


[解答3]

 右下図のように、90゚回転した図のRと元の図のSが一致するように並べると、

 PR:SQ=BC:AB=7:5 になり、PR=7k,SQ=5k とします。

 PQ2=(PR/2)2+(SQ/2)2=(7k/2)2+(5k/2)2

  =37k2/2=(37/35)(7k)(5k)/2=(37/35)(PR・SQ/2)=37(菱形PQRS)/35=37・2520/35=72・37 、

 よって、PQ=(√37)(6√2)=6√74 です。

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Comments 12

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます
青空がまばゆいほど美しいです。
メタセコイアがとても映れます。。

アキチャン  
No title

おはようございます。
青空に気持ちがいいですね。。ちょっと寒そうですがf(^。^;

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解答3]はこれまた目から鱗☆
トレミーから攻めたわたしはたしかに毒されてるようです ^^
しかも迂遠でした…^^;…Orz...

ニリンソウ  
No title

すっくと天を仰いでメタコイアの並木
白い雲が流れて行きます

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」もどきでした。
ヤドカリさんの他の方へのリコメのなかの言葉「遠回りしない,,,,」「ブログに毒されている,,,,」「余興」「問題を信用している,,,,」等々の意味合いを探ったのですが、いずれも検討がつきませんでした。どうやら、「解答3」が「遠回りしない,,,」ですね!

こっこちゃん  
No title

メタコイア 並木 イイですね

こちらでは見れません

高い木なのですね ナイス☆

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
メタセコイアの真っ直ぐに天に伸びる姿は美しいです。
人間もかくありたいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
メタセコイアがこの色になると寒さを感じます。
緑の季節が暖かでいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
ちょっとした工夫の[解答3]が楽ですね。
[解答2]はお馴染みのトレミーを使ってみました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
背景が青い空と白い雲でないと絵になりません。
白い雲がいい具合にありました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
算数問題だったら、[解答3]のように考えるかも知れませんね。
√が入るので算数にはなりませんが。
だれもこの方法で解いた方はいませんでした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
メタセコイアは其方では見られないのでしょうか。
中国で発見されて以来、全国的に植樹されたそうです。