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[答675] 領域の面積

ヤドカリ

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[答675] 領域の面積


 xy平面上の領域 (|x|+|y|-a)(|x+y|+|x-y|-45)≦0 の面積を S(a) とするとき S(a) の最小値は?


[解答]

 |x+y|+|x-y|=45 は、x を -x に書きかえても変わらないので y軸に関して対称で、

 y を -y に書きかえても変わらないので x軸に関しても対称です。

 また、x を y ,y を x に書きかえても変わらないので y=x に関して対称で、

 x を -y ,y を -x に書きかえても変わらないので y=-x に関しても対称です。

 よって、 x≧0 ,y≧0 ,y≦x のときの領域(ピンク)を描き、対称性を利用すれば全領域(水色)を描けます。

 x≧0 ,y≧0 ,y≦x のとき、(|x|+|y|-a)(|x+y|+|x-y|-45)≦0 より、

 (x+y-a)(x+y+x-y-45)≦0 、(x+y-a)(x-45/2)≦0 だから、

 x<45/2 のとき y≧-x+a ,x≧45/2 のとき y≦-x+a になります。

 従って、a≦0 (上左図),0≦a≦45/2 (上中図),45/2≦a≦45 (上右図),45≦a (下左図)に分けて図示すれば、

 a≦0 のとき S(a)=S(0) 、0≦a≦45/2 のとき S(a) は単調減少 、45≦a のとき S(a) は単調増加 だから、

 S(a) が最小になるのは、45/2≦a≦45 のときです。

 このとき、下右図のように S(a)/8=(a-45/2)2/2+{45/2-(a-45/2)}2/4 だから、

 S(a)=4(a-45/2)2+2(45-a)2=6a2-360a+6075=6(a-30)2+675 、

 最小値は S(30)=675 です。

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Comments 10

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樹☆  
No title

おはようございます^^
すてきなツリーです。隣にはプレゼントがいっぱい
子供でなくてもうれしくなります^^
やどかりさんはどのようなクリスマス?
ナイス

ニリンソウ  
No title

メリークリスマス!
夜明けとともに慌ただしい朝でした、サンタさんが来たんです。
ツリーの下はポインセチアがいっぱいですね
ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
私は、クリスマスのこの賑やかさが好きなのです(笑)(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と同じ道筋でゴールしました。
第一象限のみで考えうることを確認後、6(a-30)^2+675を得ました。
ただし、最初、90度ずれた大きさが変化する正方形が、固定の45*45の正方形と同じ大きさになる時が答と予測しました。見事、間違いました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
長居植物園の近くで見たツリーです。
綺麗で思わずカメラを向けました。
ところで、私のクリスマスはケーキを食べるだけのクリスマスでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
クリスマスにはサンタさん、正月には獅子舞でしょうか?
赤と白のポインセチアも綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
クリスマスは華やかで賑々しいですね。
私には合いませんが、すっかり文化として定着しています。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
このような図形の問題は、正○角形をイメージしますので、
貴殿の予測も納得できます。
それが裏切られるような問題は中々見つからないものです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
最初は面食らってスルーしかけましたが…^^;
曲がりなりにも...図形の形が見えたので…なんとかなりました…^^;v
パズルのような感覚で取り組みましたぁ♪ Orz~

図形の問題に苦戦中…^^;...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
大げさな式ですが、取り組めばそんなに難しい図形ではありません。
スルーでなくて良かったです。