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[答676] 範囲限定の整数解の組数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答676] 範囲限定の整数解の組数


 a,b,c,d,e,f を 1 以上 53 以下の自然数とするとき、

 a+f=b+e=c+d,a<b<c<d を満たす(a,b,c,d,e,f)の組は全部で何組?


[解答1]

 一般に、a,b,c,d,e,f を 1 以上 n 以下の自然数とします。

 a,f の決め方は、f-a=m とすれば、

 m=5 を満たす(a,f)は a=1,2,……,n-5 のときの (n-5)通り、

 m=6 を満たす(a,f)は a=1,2,……,n-6 のときの (n-6)通り、

  …………

 m=2k+3 を満たす(a,f)は a=1,2,……,n-(2k+3) のときの (n-2k-3)通り、

 m=2k+4 を満たす(a,f)は a=1,2,……,n-(2k+4) のときの (n-2k-4)通り、

  …………

 m=n-2 を満たす(a,f)は a=1,2 のときの 2通り、

 m=n-1 を満たす(a,f)は a=1 のときの 1通り、

 m=n を満たす(a,f)は 0通りです。

 b,c が a+1≦b<c<a+m/2 を満たせば a+m/2<d<e≦f-1 となるから、

 m=2k+3,m=2k+4 のとき、a+1≦b<c≦a+k+1 となり、

 b,c の決め方は k+12=(k+1)k/2 通り、

 m=2k+3,m=2k+4 のときを合わせて、a,b,c,f の決め方は、

 {(n-2k-3)+(n-2k-4)}(k+1)k/2=(2n-4k-7)(k+1)k/2=(2n+1)(k+1)k/2-2(k+2)(k+1)k 通りです。

 n が偶数のとき、n-2k-4≧0 として、k≦(n-4)/2 、

 n が奇数のとき、n-2k-3>0 として、k<(n-3)/2,k≦(n-5)/2 の範囲で加えます。

 n が偶数のとき、

 (2n+1){(n-4)/2+2}{(n-4)/2+1}{(n-4)/2}/3/2-2{(n-4)/2+3}{(n-4)/2+2}{(n-4)/2+1}{(n-4)/2}/4

  =(2n+1)n(n-2)(n-4)/48-(n+2)n(n-2)(n-4)/32=n(n-2)(n-4){2(2n+1)-3(n+2)}/96

  =n(n-2)(n-4)2/96 通り、

 n が奇数のとき、

 (2n+1){(n-5)/2+2}{(n-5)/2+1}{(n-5)/2}/3/2-2{(n-5)/2+3}{(n-5)/2+2}{(n-5)/2+1}{(n-5)/2}/4

  =(2n+1)(n-1)(n-3)(n-5)/48-(n+1)(n-1)(n-3)(n-5)/32=(n-1)(n-3)(n-5){2(2n+1)-3(n+1)}/96

  =(n-1)2(n-3)(n-5)/96 通りです。

 本題は n=53 だから、(53-1)2(53-3)(53-5)/96=522・50・48/96=67600 通りです。


[解答2]

 一般に、a,b,c,d,e,f を 1 以上 n 以下の自然数とします。

 a+f=b+e=c+d=s とすれば、

 1+6=2+5=3+4=7 ,(n-5)+n=(n-4)+(n-1)=(n-3)+(n-2)=2n-5 だから、

 7≦s≦2n-5 になります。

 また、a+f=b+e=c+d=t のとき

 (n+1-f)+(n+1-a)=(n+1-e)+(n+1-b)=(n+1-d)+(n+1-c)=2n+2-t だから、

 s=t のときと s=2n+2-t のときの (a,b,c,d,e,f)の組数は等しくなります。

 そこで、s=7,8,9,……,n+1 について、(a,b,c,d,e,f)の組数を求めます。

 1 以上 s/2 未満から a,b,c を選んで d=s-c,e=s-b,f=s-a とすればよいので、

 (a,b,c,d,e,f)の決め方は [(s-1)/2]3 通りです。

 s=7,8,9,……,2[(n+1)/2] のときの(a,b,c,d,e,f)の組数を M とすれば、

 M=33334343+……+[n/2-1/2]3=2(3343+……+[n/2-1/2]3)=2・[n/2+1/2]4 です。

 1,2,……,[n/2+1/2] から 4 個を選ぶときの最大のものが 4,5,……,[n/2+1/2] に分けて考えれば、

 [n/2+1/2]43343+……+[n/2-1/2]3 だからです。

 s=n+1 のときの(a,b,c,d,e,f)の組数を N とすれば、N=[n/2]3 通りです。

 n が偶数のとき s=n+1 の場合が M に含まれておらず、[n/2]=[n/2+1/2]=n/2 だから、

 2M+N=4・n/24n/23=(n/2-3)・n/23n/23=(n/2-3+1)・n/23

  =(1+n/2-3)(n/2)(n/2-1)(n/2-2)/6=n(n-2)(n-4)2/96

 n が奇数のとき s=n+1 の場合が M に重複して含まれ、[n/2]=n/2-1/2 ,[n/2+1/2]=n/2+1/2 だから、

 2M-N=4・n/2+1/24n/2-1/23=(n/2+1/2)・n/2-1/23n/2-1/23=(n/2+1/2-1)・n/2-1/23

  =(n/2+1/2-1)(n/2-1/2)(n/2-3/2)(n/2-5/2)/6=(n-1)2(n-3)(n-5)/96

 本題は n=53 だから、(53-1)2(53-3)(53-5)/96=522・50・48/96=67600 通りです。

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Comments 15

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

ポインセチア
いい色!
ナイス☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
これぞポインセチア(o^-^o)
真っ赤できれいですね♪

ニリンソウ  
No title

やっぱり赤も買いましたか!
お元気そうですね、 私は苦手ですよ
葉がぽろぽろ落ちるのです。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしは、式の対称性から…
a+x+1+y+1+z+1+y+1+x+1+w=53
a+x=A, A+1=B, B+y+1=C, C+z+1=D, D+y+1=E, E+x+1=F
A+F=B+E=C+D

a+2(x+y)+z+w=48
1<=a,0<=x,y,z,w
から計算しました…が...
そんなに面倒ではなく求められた気がしまたけど…^^…Orz~

明日はいよいよ仕事納めです ^^v

Yasuko  
No title

☆*。:゚*コンニヾ(*゚∀゚*)ノチワァ.゚。+*☆

我が家の~ポインセチアも赤です~o(*’▽’*)/☆゚’
赤は華やかで温かみがあります•( ◜◡‾)(‾◡◝ )

ナイス!☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ポインセチアらしい色ですね。
葉が少し丸みのある品種です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
これぞポインセチアという色ですね。
葉の丸みが柔らかさを感じさせます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
見かけたもので、買ったものではありません。
私が育てたら、無残な形になりそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
1~nまでの一般解にしましたので、長い解答になりました。
奇数と偶数で式が違うのが、長くなった原因でもあります。
最初から 53の場合だともっと簡単になります。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難うございます。
ポインセチアを飾っておられるのですね。
ポインセチアといえばやはりこの色がシックリきますね。

tsuyoshik1942  
No title

「解答」読みきれておりません。後でまた、勉強させていただきます。
自分は手計算を断念、PCに頼りました。その分、53を6,7,8...53と置き換え、それぞれの答を得、一般式を推定しました。
偶数の時:n(n-2)(n-4)(n-4)/96
奇数の時:(n-1)(n-1)(n-3)(n-5)/96
得られた一般式がきれいな形を示したので、その導入・理論付けを何度か試みたのですが、ゴールできませんでした。

tsuyoshik1942  
No title

スモークマンさんの手法で数え上げを試みました。
(x+y)を0~23まで区分けすると、順次、
1*49C2+2*47C2+3*45C2+4*43C2....22*7C2+23*5C2+24*3C2=
1176+2162+2970+3612+.......462+230+72=67600
少し煩雑ですが、自分としては十分に手計算の範疇です。手計算をギブアップした身には参考になりました。
C項のまとめ方等、もっと上手い数え方があるなら開示をお願いします。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
解答が分かりにくいときは n を具体的に 53 にして読み直していただくと、
分かりやすいと思います。

2個目のコメント、Σで表せば、k=1,2,3,……,24 として、
Σk(51-2k)(50-2k)/2=Σk(51-2k)(25-k) でもいいですね。

樹☆  
No title

全然傷んだとこがなく
すごくきれいです。鮮やかですね~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
痛んでないので赤が余計に鮮やかに見えました。
ポインセチアらしい色でした。