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[答677] 角の最大と三角形の面積

ヤドカリ

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[答677] 角の最大と三角形の面積


 AB=4,BC=28,∠B=90゚ の△ABCがあって、BCの中点をMとします。

 点Pを、∠BPMが最大になるように辺AC上にとるとき、△PABの面積は?


[解答1]

 △PBMの外接円が直線ACと2点P,Qで交わるとき、PQの間の点Rをとれば、

 ∠BPM<∠BRM だから、∠BPMは最大になりません。

 従って、△PBMの外接円が直線ACと点Pで接するときに∠BPMは最大になります。

 ここで、△ABCを xy平面上に A(0,4),B(0,0),C(28,0) になるように置けば、M(14,0) 、

 直線ACは、x/28+y/4=1 すなわち、x+7y=28 になります。

 また、△PBMの外接円の中心はBMの垂直二等分線上にあり、(7,k)とします。

 (7,k)とB(0,0)の距離=(7,k)と直線ACの距離だから、

 √(72+k2)=|7+7k-28|/√(12+72) 、 50(49+k2)=|7k-21|2 、 2450+50k2=49k2-294k+441 、

 k2+294k+2009=0 、(k+7)(k+287)=0 、k=-7,-287 です。

 次に、(7,k)を通り、ACに垂直な直線は、7(x-7)-(y-k)=0 、7x-y=49-k で、

 ACの式 x+7y=28 と連立させると、その交点は((371-7k)/50,(147+k)/50) になります。

 この交点Pが線分AC上にあるためには、0≦(371-7k)/50≦28 (または 0≦(147+k)/50≦4) より、

 -147≦k≦53 となって、k=-7 です。

 よって、P(42/5,14/5) 、△PAB=4・42/5/2=84/5 になります。


[解答2]

 BMを直径とする円内に辺ACの一部が入るから、∠BPMの最大角は鈍角です。

 △ABCを xy平面上に A(0,4),B(0,0),C(28,0) になるように置けば、M(14,0) 、

 直線ACは、x/28+y/4=1 すなわち、x=28-7y になり、P(28-7t,t) (0<t<4) とします。

 MPの傾きは t/(14-7t) ,BPの傾きは t/(28-7t) だから、

 tan∠BPM={t/(14-7t)-t/(28-7t)}/{1+t2/(14-7t)(28-7t)}

  ={t(28-7t)-t(14-7t)}/{(14-7t)(28-7t)+t2}=14t/(50t2-294t+392)

  =7t/(25t2-147t+196)=7/(25t-147+196/t)≦7/{2√(25t・196/t)-147}=7/(140-147)=-1 、

 ここで、等号が成り立つのは、25t=196/t すなわち t=14/5 のときで、∠BPM=135゚ です。

 よって、P(42/5,14/5) 、△PAB=4・42/5/2=84/5 になります。


[解答3]

 △PBMの外接円が直線ACと2点P,Qで交わるとき、PQの間の点Rをとれば、

 ∠BPM<∠BRM だから、∠BPMは最大になりません。

 従って、△PBMの外接円が直線ACと点Pで接するときに∠BPMは最大になります。

 方冪の定理により CP2=CM・CB=CB2/2 、

 三平方の定理により、CA2=CB2+AB2=CB2+(CB/7)2=50CB2/49 、

 よって、CP2/CA2=49/100 、CP/CA=7/10 、AP/AB=1-7/10=3/10 です。

 △PAB=(3/10)△ABC=(3/10)(1/2)・28・4=84/5 になります。

 なお、△PAB:△PBC=AP:PC=3:7=6:14 なので、△PAB:△PBM:△PMC=6:7:7 です。

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Comments 10

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
2013年も今日と明日になりました
青空は無いけど雪も降っていない朝です

ポインセチアいっぱいの種類を載せてくれましたね
ありがとう 良いお年を!

アキチャン  
No title

おはようございます。
中央の白色が、まるで光沢しているように見えて、
珍しいですね(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答2]で納得しましたが... ^^;
どうしても…BMを直径とする円の中心O(7,0)からの最短距離になる点がPのはずという思考から抜けきれないまま…つまり、OからACに引いた垂線の交点がPだと…
一般に、円の中心からの距離が最短の点のときがその角BPMは最大になりますよね?…
6 : 7 : 7 が隠れてましたのね ^^;…Orz~

Yasuko  
No title

☆*。:゚*コンニヾ(*゚∀゚*)ノチワァ.゚。+*☆

今年一年、(*´▽`*)ノ゛☆ありがと☆ ございました!
今年は、例年になく寒いです^^;

来年も(*m_ _)m{{宜しくお願いします

良いお年をお迎えくださいね。

ナイス!☆

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
早いもので今年は残り30時間を切りました。
此方は青空はあっても、掃除の1日でした。
よいお年をお迎えくださいね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ポインセチアも品種が多いですね。
赤と白ですが、模様が面白いと思いました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
結局、弧の円に対する割合が少ないほど角が大きくなりますね。
ところで、6:7:7 に気づいてくれる方も多かったです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難うございます。
今年も沢山のコメントを頂き、感謝しています。
予報では、明日明後日はもう少し寒さが緩むそうで、期待しています。

こっこちゃん  
No title

真っ赤なポインセチア

元気出ますよね 2013年もあと2日ですね

良い歳を お迎えくださいね
来年も宜しくお願いします。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
早いもので今年もあと1日と少しです。
今年も沢山のコメントを頂きました。来年もよろしくお願いします。
よいお年を迎えください。