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[答64] 22.5゚ を含む三角形の面積

ヤドカリ

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[答64] 22.5゚ を含む三角形の面積


 図のような、2つの角が 22.5゚, 45゚ で、45゚の角の対辺が 16cm の三角形の面積は?



[解答1]

 左図のように1辺が 8cm の正方形と同じで、64cm2 です。

☆ 1辺が 8cm の正方形になる理由は、1つを 22.5゚ として下の図を見ます。
 赤の長さはすべて等しいので、16cm の辺の向かいの頂点から垂線(緑色)を下ろすと、
 橙の長さ=水色の長さ の 1/2 の 8cm になります。

[解答1'] 底辺が 16cm, 高さが 8cm の三角形の面積 で、64cm2 です。


[解答2]

 右上図のように外接円を描くと、中心角が 45゚, 90゚で、

 斜辺が 16cm の直角二等辺三角形と同じで、64cm2 です。


[解答3] うまい方法が思いつかなければ

 22.5゚の角の対辺を acm とすると、正弦定理より、

 a/sin22.5゚=16/sin45゚ で、a=16(√2)sin22.5゚ 。

 面積は、(1/2)・16a・sin67.5゚=128(√2)sin67.5゚sin22.5゚

     =128(√2)(-1/2)(cos90゚-cos45゚)=64 です。


[解答4] uch*n*anさんのコメントより

 1つを 22.5゚ として、図cのように、△ABC≡△DBC, AD//CE として、

 2倍の面積を求めると、等辺が 16cm の直角二等辺三角形と同じで、128cm2 です。

 求める面積は、64cm2 です。

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Comments 14

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スモークマン  
No title

この等積変形は難しい...^^;
すくなくとも...解法2(なるほど♪)は気付けてもよさそうなんだけど... 撃沈でした...^^;;

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
私は、解答1に気づけて問題にしました。

uch*n*an  
No title

私の場合,う~む,[解答1]は無理そう。
そもそも,正方形の一辺が 8 cm になるのが算数では分からなかったり (^^;
[解答3],[解答2]は,この順に容易に分かりましたが,
いずれも算数ではないので,算数でどうするか考えました。
その結果は,次のとおりです。図が描ければいいのですが...

uch*n*an  
No title

AB = 16 cm,∠ABC = 22.5°,∠ACB = 45°となるように三角形の頂点を A,B,C とします。
△ABC を BC に関して折り返し A の移動先を D とし,
BD を D の方に延長して,C を通り AD に平行な直線との交点を E とします。
この図で角度の関係を調べると,∠ABC = 22.5°を 1 として,45°= 2,90°= 4,180°= 8 より,
∠ABC = 1,∠ACB = 2,∠BAC = 5,∠ABD = 2,∠BAD = ∠BDA = 3,
∠ACD = 4,∠CAD = ∠CDA = 2,∠DCE = 2,∠CDE = ∠CED = 3 で,
CA = CD = CE になり,∠ACE = ∠ACD + ∠DCE = 6 より,∠CAE = ∠CEA = 1 です。

uch*n*an  
No title

そこで,∠DAE = 1 で,∠BAE = ∠BAD + ∠DAE = 4,∠ABE = ∠AEB = 2 なので,
△ABE は AB = AE = 16 cm の直角二等辺三角形になります。
以上より,AD//CE だったので,△CAD = △EAD に注意すると,
△ABC * 2 = □ABDC = △BAD + △CAD = △BAD + △EAD = △ABE
△ABC = △ABE * 1/2 = 16 * 16 * 1/2 * 1/2 = 64 cm^2
になります。

uch*n*an  
No title

最初は,□ABDC をさらに BD で折り返した図を考えていました。
これだと,16 * 16 の正方形に等積変形できます。
算数としてはこの方が美しいのですが,やっていることは,上記と同じです。

uch*n*an  
No title

>そもそも,正方形の一辺が 8 cm になるのが算数では分からなかったり (^^;
改めて図を見ていて,16 cm の辺の方向が 8 cm になるのはいいとして,
それに垂直な方向が 8 cm になるのは,算数でどうやるのでしょうか?
なお,三角関数では確認済みです。

スモークマン  
No title

>そもそも,正方形の一辺が 8 cm になるのが算数では分からなかったり...

1辺8cmの正方形の右下の角を上の三角形の右下まで滑らせたら...
8cm の半分がちょうど元の正方形の1辺の半分分になってますが...^^;...それでも...こんな変形思いつけるなんて...わたしには...ミラクルです♪

uch*n*an  
No title

>1辺8cmの正方形の右下の角を上の三角形の右下まで滑らせたら...
>8cm の半分がちょうど元の正方形の1辺の半分分になってますが...^^;...
ごめんなさい,よく分からない。
そもそも,この長方形が正方形になるのは明らかなんですか?

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさんへ

説明不足をお詫びします。私の頭の中に、新たに追加した右下の図があって、垂線の長さが 8cm であるという説明を忘れておりました。

貴殿の詳しい解答を有難う御座います。図なしでは理解しにくいので、これも新たに作図して掲載しました。

スモークマン  
No title

図Cの...uchh*n*anさんの解法も素敵ですね♪
やっぱり図がないと巧く説明できないもどかしさは否めないです...^^; Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、何度もコメントを有難う御座います。
コメント欄には図を使えないのが苦しいですね。
貴殿のブログに図を追加して「素敵な解答」にして下さると、こちらで紹介します。

uch*n*an  
No title

やどかりさん,図や追加説明など,ありがとうございます。
[解答1]の追加の図,なるほど,これならば納得です。
ただ,この図だけで十分に説明されており,一つの立派な解法になっているので,
正方形にこだわらなくとも,という気もしてしまいますが...

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、4つに切ると正方形に並べかえが出来ることをテーマにしたかったのですが、
面積でなく、違う形での問題にするほうがよかったかも知れません。