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[答684] 角の3等分線

ヤドカリ

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[答684] 角の3等分線


 ∠A=90゚ の △ABC において、辺AC上に Aの近い方から P,Q をとり、

 BP,BQが ∠Bの3等分線になるようにしました。

 AP:PQ=7:8 ,△PBC=3√15 のとき、3辺 PB,BC,CP の長さは?


[解答1]

 ABに関して Pと対称な点を P' とします。

 BQは ∠PBCの2等分線だから PB:BC=PQ:QC ,BPは ∠P'BCの2等分線だから P'B:BC=P'P:PC 、

 PQ:QC=P'P:PC 、PQ:QC=2AP:(PQ+QC) 、PQ:QC=(2AP-PQ):PQ=6:8=3:4 、PB=3a,BC=4a 、

 BPは ∠ABQの2等分線だから、AB:BQ=AP:PQ=7:8 となり、AB=7b,BQ=8b とおきます。

 また、AP:PQ=7:8=21:24 ,PQ:QC=3:4=24:32 だから、AP:PQ:QC=21:24:32 です。

 次に、△BAQ:△BPC=AQ:PC だから、7b・8b:3a・4a=(21+24):(24+32) 、b2=(135/784)a2 になり、

 △ABPで 三平方の定理より、AP2=9a2-49b2=9a2-49(135/784)a2=(9/16)a2 、AP=(3/4)a 、

 AP:PC=21:(24+32)=3:8 だから、PC=(8/3)AP=(8/3)(3/4)a=2a です。

 更に、△PBC=PC・AB/2=2a・7b/2=7ab=3√15 だから、

 49a2b2=135 、49a2(135/784)a2=135 、a4=16 、a=2 です。

 よって、PB=3a=6 ,BC=4a=8 ,CP=2a=4 です。


[解答2]

 ∠ABP=θ とおけば tanθ:tan2θ=7:(7+8)=7:15 です。

 tanθ:tan2θ=tanθ:2tanθ/(1-tan2θ)=(1-tan2θ):2=7:15 だから、

 15(1-tan2θ)=14 、tanθ=(√15)/15 ,tan2θ=(15/7)tanθ=(√15)/7 になります。

 tan3θ=(tan2θ+tanθ)/(1-tan2θtanθ)={22(√15)/105}/(1-1/7)=11(√15)/45 です。

 よって、AP=(√15)AB/15 ,AC=11(√15)AB/45 ,PC=8(√15)AB/45 になり、

 △PBC=PC・AB/2=4(√15)AB2/45=3√15 だから、AB2=135/4 、AB=3(√15)/2 、

 AP=(√15)AB/15=3/2 ,AC=11(√15)AB/45=11/2 ,PC=8(√15)AB/45=4 です。


[解答3]

 ∠ABP=θ とおけば、BPは ∠ABQの2等分線だから、cos2θ=BQ/BA=PQ/PA=21/24=7/8 、

 cos2θ=(1+cos2θ)/2=15/16 、cosθ=(√15)/4 になり、

 cos3θ=4cos3θ-3cosθ=15(√15)/16-3(√15)/4=3(√15)/16 になります。

 また、sin2θ=√(1-cos22θ)=√(1-49/64)=(√15)/8 です。

 ここで、BP=AB/cosθ ,BC=AB/cos3θ だから、

 BP:BC=1/cosθ:1/cos3θ=4/(√15):16/(3√15)=3:4 になり、

 BP=3k,BC=4k とおけば、1/cosθ:1/cos3θ=4/(√15):16/(3√15)=3:4 になり、

 △PBC=(1/2)・3k・4k・sin2θ=6k2・(√15)/8=3√15 だから、

 k=2 、BP=3k=6,BC=4k=8 、

 余弦定理より、PC2=62+82-2・6・8cos2θ=16 、PC=4 です。


[参考]

 PB:BC:CP=3:4:2 の 簡単な辺の比である△PBCにおいて、

 BからCPおろした垂線とBPの作る角が、∠B/2 になることは美しい関係だと思います。

 それを紹介するために作った問題です。

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Comments 14

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樹☆  
No title

おはようございます
黄実の千両もすてきです。
穏やかな色であったかいですね。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
千両の実でしょうか
赤も良いけど黄色の実も好きです

ナイス☆彡

アキチャン  
No title

おはようございます。
黄色いのですね♪いろいろ楽しいですね(o^-^o)

古い人  
No title

昨日の色変りですね。

正月には欠かせ無いですね。
赤色も好いが黄色も最高です。
ナイス。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしは…tanで考えましたが…たしかに、θ,2θの条件だけあれば、3θは求めれるわけでしたのね☆
or
BP:BC=14:(8+x)=8:x
x=32/3
でも出せるのね☆

ニリンソウ  
No title

黄色もあったんですね。
白は? 万両に白があるものだから 笑
厳しい冷え込みですねそちらは氷点下にはならないの?

ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
黄色の実も時々見かけます。
赤より柔らかい感じがします。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
黄色の千両は千両箱の小判でしょうか?
気持ちだけでも裕福になりたいものです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
色が複数ある花も実も楽しめますね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難うございます。
正月の縁起ものです。
昔の人は願いを込めて名付けたのでしょう。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
方程式を解くとそのようになりますが、[解答1]では加比の理を使いました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
私は逆に白い万両を見たことがありません。
ところで、最近の冷え込み、此方では昨日はじめて氷点下を記録しました。

ひとりしずか  
No title

キミノセンリョウも実物見たことないような・・
お正月の生け花に赤いほうが多く使われるせいでしょうか~
なんかほっころする写真です~(^^♪
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントと早速のナイス!を有難うございます。
門松には黄色の千両も見かけます。
赤より柔らかい感じがあり、ほっこりするのかも知れません。