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[答686] 円柱の体積の最大値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答686] 円柱の体積の最大値


 表面積が 294 である直円柱の体積 V の最大値は?


[解答1]

 底面の半径を r,高さを h とすれば、2πr2+2πrh=294 だから、rh=147/π-r2

 V=πr2h=πr(147/π-r2)=147r-πr3

 V'=147-3πr2=3(49-πr2) となって、

 0<r<7/√π のとき V'>0 ,7/√π<r<(7√3)/√π のとき V'<0 となって、r=7/√π のとき V は最大、

 このとき、V=π(7/√π)(147/π-49/π)=(7/√π)(147-49)=686/√π です。


[解答2]

 底面の半径を r,高さを h とすれば、V=πr2h ,2πr2+2πrh=294 だから、

 π(2r2+2rh)=294 、π(2r2+rh+rh)=294 、(2r2+rh+rh)/3=98/π です。

 相加・相乗平均の関係により、3√(2r2・rh・rh)≦(2r2+rh+rh)/3 だから、

 3√(2V22)≦98/π 、(√2)V/π≦(98√98)/(π√π) 、V≦686/√π になります。

 等号が成り立つのは、2r2=rh 、h=2r ときで、6πr2=294 、r=7/√π のときです。

 V の最大値は 686/√π になります。

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Comments 20

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樹☆  
No title

おはようございます。
南天の実・・鳥さんが大好物な実ですね。
いっぱい成ると必ず食べられます^^
わたしは今・・この実が必要かも~咳止めほしいデス。笑

ひとりしずか  
No title

気持ちがぱーっと明るくなりました~
(今日は積雪約3㎝、薄曇りの空から粉雪が~)

ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
これは初めて相加相乗が使えた記念すべき問題となりましたぁ♪
お陰さまで少しは身に付いてきたようで嬉しい~Orz~

南天=難を転じる…縁起物ですね&この実から抗アレルギー剤(リザベン)を日本人の方が見つけられましたのよ ^^☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」でした。
この問題には、この手法で十分とは思いますが、このサイトの常連と自負し、「解答2」の手法が必ずあるはずと睨みながら、それを解明できず、大変悔しい思いをしました。

アキチャン  
No title

おはようございます。
家のは、赤い実は半分くらいです!鳥さんかしらf(^。^;
綺麗になってますネ(o^-^o)

古い人  
No title

ナンテンの実ですね正月の飾りとか。

喉の薬とか難を転じるとかで縁起の良い実ですね。
田舎に行く何処の家にも植えて有りましたね。
ナイス。

こっこちゃん  
No title

南天の実ですね

我が家では 全て 赤い実はありません

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

いつも!鳥さんが来て食べてます^^
もう、ほとんど無くなりましたぁ~^^;

毎日、寒いですねーヽ(^o^)丿

d(゚-^*) ナイス♪

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
素晴しい南天の実ですネ
我が家の葉毎年実の付きが悪く半分くらいしか生りません
此の綺麗な赤い実 どんな野鳥が食べに来るのでしょうね

ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

たわわに実った南天が見事ですね
今はぽろぽろこぼれて一つ、二つ、淋しく残っているだけ
鮮やかですね

ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
いっぱい成っていましたが、この南天は無事でした。
ところで、はやく咳を治してくださいね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
そちらは景色のほとんどが白ですね。
赤いのを見てほっこりして頂ければ幸いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
相加・相乗平均になれてこられましたね。
ところで、
この実から抗アレルギー剤が見つかったというのは知りませんでした。
葉が複々葉になっている珍しい植物として私は認識しています。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
相加・相乗平均の方が、工夫ができて面白いと思います。
悔しい思いをされたのなら次は大丈夫ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
南天の実は鳥に食べられるだけでなく、ポロポロ落ちますね。
都市緑化センターで見たものですが、ここのは沢山残っていました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難うございます。
これは正月の飾りではありませんが、よく使われますね。
田舎のどこでもよく見られると思いますが、
大阪府の南部は特に多いです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
そちらでは、鳥に食べられたのでしょうか? 落ちたのでしょうか?
また、今年の年末ですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
そちらでは、もう鳥のエサになってしまったのですか?
ところで、本当に毎日寒いですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
南天が沢山固まって成っていて殆ど減っていませんでした。
赤い実の色が鮮やかでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
まだまだ沢山残っています。
赤い色はとても鮮やかでした。