FC2ブログ

Welcome to my blog

[答687] 等脚台形と三角形の内接円

ヤドカリ

ヤドカリ



[答687] 等脚台形と三角形の内接円


 AD<BC,AB=DC の等脚台形ABCDがあり、対角線DBで△ABDと△DBCに分けます。

 △ABDと△DBCの内接円とDBの接点をそれぞれP,Qとするとき、

 内接円の半径の比が 2:3 で、DP:PQ=6:1 であれば、△DBCの辺の比 CD:DB:BC=?

 ただし、D,P,Q,B はこの順に対角線上にあるものとします。


[解答1]

 図のように、△ABDの辺と内接円の接点をP,R,T,と△DBCの辺と内接円の接点をQ,S,U,

 CS=CU=x,PQ=k とします。

 DP:PQ=6:1 より DR=DP=6k,DU=DQ=7k となり、

 △DRP∽△BSQ で相似比が 2:3 だから、DP:BQ=2:3 、6k:BQ=2:3 、BQ=9k 、

 BS=BQ=9k 、BT=BP=10k になります。

 AB=DC より、AT+10k=x+7k 、AR=AT=x-3k になりますので、

 結局、AD=x+3k,BC=x+9k,AB=DC=x+7k,AC=BD=16k です。

 △ABD,△DBC の内接円の半径を 2r,3r とすれば、

 △ABD:△DBC=(AB+BD+DA)・2r/2:(DB+BC+CD)・3r/2=2(AB+BD+DA):3(DB+BC+CD) 、

 また、△ABD:△DBC=AD:BC だから、2(AB+BD+DA):3(DB+BC+CD)=AD:BC 、

 2(x+7k+16k+x+3k):3(16k+x+9k+x+7k)=(x+3k):(x+9k) 、

 2(2x+26k):3(2x+32k)=(x+3k):(x+9k) 、2(x+13k):3(x+16k)=(x+3k):(x+9k) 、

 3(x+16k)(x+3k)=2(x+13k)(x+9k) 、x2+13kx-90=0 、

 (x-5k)(x+18k)=0 、x=5k となり、AD=8k,BC=14k,AB=DC=12k,AC=BD=16k です。

 よって、CD:DB:BC=12k:16k:14k=6:8:7 になります。


[解答2]

 [解答1]と同様に、AD=x+3k,BC=x+9k,AB=DC=x+7k,AC=BD=16k と表され、

 等脚台形は円に内接するので、トレミーの定理より、AD・BC+AB・DC=AC・BD だから、

 (x+3k)(x+9k)+(x+7k)2=(16k)2 、2x2+26kx-180=0 、

 2(x-5k)(x+18k)=0 、x=5k となり、AD=8k,BC=14k,AB=DC=12k,AC=BD=16k です。

 よって、CD:DB:BC=12k:16k:14k=6:8:7 になります。

.

スポンサーサイト



Comments 14

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

おはようございます
今朝は時間を間違い早起きです(笑)

日本水仙でしょうか
沢山の水仙の花 ほのかな香が此処まで届いてきそうです

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
日本水仙がたくさん咲いていました。
水仙の香りはいいですね。

樹☆  
No title

おはようございます
一月が似合うお花だと思います。
香りもいいですね。

ニリンソウ  
No title

寒さに凛とした水仙の姿に打たれますね
シャキッと背筋伸ばして日を送りたいものです

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
これからまたいろいろなスイセンが楽しめますね(o^-^o)

こっこちゃん  
No title

近頃 甘い香りに誘われて

スイセンの 花に出会いますよね

可愛いはなで 癒されますよね ナイス☆

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

香りが匂ってきそうですね
近くの畑に咲いてるので・・・昼から撮りに行って来ます♪

ナイス!☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答1]でしたが…
◯◯◯の定理のヒントで、なるほど !! と気付けましたぁ~☆
解法に使えるツール/武器 ^^ をたくさん持ってるのは有効ですね♪

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
水仙の香りはいいですね。
1月の楽しみのひとつでもあります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
寒さの中で綺麗な姿を見せてくれる水仙はいいですね。
私も「背筋を伸ばして」生きたいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
水仙の種類も多いですね。
でも、この日本水仙がいちばん馴染みがあって気持ちが落ち着きます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
香りに誘われる花の1つですね。
でも金木犀と違って、まずその姿に目を奪われます。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
「近くの畑に咲いて」がいいですね。
また、ブログで美しい姿を見せてください。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
トレミーの定理が思わぬ所で役立ちました。
道具を旨く使えると嬉しいものですね。