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[答689] 指定された3点を通る円

ヤドカリ

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[答689] 指定された3点を通る円


 2つの放物線 y=x2,y=-x2+10x+16 の2つの交点と 原点(0,0)を通る円の中心の座標は?


[解答1]

 y=x2,y=-x2+10x+16 より、2x2-10x-16=0 、x2-5x-8=0 、

 この方程式は異なる実数解をもつので、2つの交点を(a,b),(c,d) とすれば、

 a+c=5,ac=-8 、また、b=a2=5a+8,d=c2=5c+8 です。

 求める円は原点を通るので、x2+y2+px+qy=0 とおけば、

 a2+(5a+8)2+ap+(5a+8)q=0 、26a2+80a+64+ap+(5a+8)q=0 、

 26(5a+8)+80a+64+ap+(5a+8)q=0 、

 210a+272+ap+(5a+8)q=0 、同様に、210c+272+cp+(5c+8)q=0 、

 辺々加えて、210(a+c)+544+(a+c)p+(5a+5c+16)q=0 、1594+5p+41q=0 で、

 辺々減じて、210(a-c)+(a-c)p+(5a-5c)=0 、210+p+5q=0 です。

 これを解けば、p=-40,q=-34 、求める円は x2+y2-40x-34y=0 、

 (x-20)2+(y-17)2=689 ですので、中心は(20,17)です。


[解答2]

 y=x2,y=-x2+10x+16 を加えて 2y=10x+16 、

 5x-y+8=0 で、これが2つの交点を通る直線になります。

 y=x2 を代入すると、5x-x2+8=0 、x2-5x-8=0 で、これが2つの交点のx座標を求める方程式です。

 5x=y-8 を2乗して 25x2=y2-16y+64 、x2=y を代入すると、25y=y2-16y+64 、

 y2-41y+64=0 で、これが2つの交点のy座標を求める方程式です。

 x2-5x-8+y2-41y+64=0 、x2+y2-5x-41y+56=0 が、

 2つの放物線の2つの交点を直径の両端とする円になります。

  2つの交点を(a,b),(c,d) とすれば、以下の4つの式が成り立ち、

  a2-5a-8=0,c2-5c-8=0,b2-41b+64=0,d2-41d+64=0

  この円は (a,d),(c,b) も通ることになり、

  この4点を頂点とする四角形が長方形だから対角線が直径になります。

  なお、直径であるかどうかは、本問を解くのに直接関係ありません。

 求める円の方程式は、(x2+y2-5x-41y+56)+k(5x-y+8)=0 と表され、

 これが 原点(0,0)を通るから、56+8k=0 、k=-7 、

 よって、(x2+y2-5x-41y+56)-7(5x-y+8)=0 、x2+y2-40x-34y=0 、

 (x-20)2+(y-17)2=689 となって、中心は(20,17)です。

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Comments 20

There are no comments yet.
Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

まぁ~珍しい「ブッシュカン」でしょうか?
文化園で見たことがありますよ♪

d(゚-^*) ナイス♪

uch*n*an  
No title

[解答2]には,なるほど,という感じですねぇ。勉強になりました。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

あら!これは何でしょう。
野菜でしょうか?
寒い時期に、色のあるものが見られるっていいですね。
ポチ☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解法1]でした ^^
[解法2]の方法もあるに違いないとふんだんですがよく分からず…^^;
ただ、
>2つの放物線の2つの交点を直径の両端とする円
が理解できません...2点を通る円としか言えないのではないのかなぁ…
で、x2+y2-5x-41y+56+k=0が(0,0)も通ることから kを求めるという流れなら理解できるのですが…^^;…?…Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
仏手柑のようですが如何見ても人の足に見えますね
この柑橘は2つと同じ形のものがないのが特徴ですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ジャイアント馬場さんより仏様の足と言って欲しいですね。(笑)
ご存知と思いますが、和歌にも
5・7・5・7・7・7 の形式で詠まれる仏足石歌体というのがあります。
平安時代には衰亡したそうですが。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
一応、仏手柑です。こんなのばかりだったら仏足柑ですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難うございます。
私は花の文化園の大温室で見ました。
同じ木に形の違う実がなっていて不思議でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
[解答2]に少し説明を加えました。
交点を求めずに円の方程式を求められるのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰るとおり、花の文化園で見たものです。
それにしても不思議な形の柑橘ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
[解答2]を紹介するための問題でした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
これは、仏手柑という柑橘類です。
温室で見たものですが、温室の外でも数少ないですが花は見られます。
北海道のように雄大な自然が見られない分、花はよく見られます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
直径になる理由は本文に加えました。
よく吟味くださいね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
仰るとおり、足に見えますね。
それも5本指のソックスを履いた足のようです。
同じ形にならないのは、私も面白いと思います。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
なるほどぉ~納得☆
but…

以下の計算で求められないのはなぜなんでしょうかしらん?

直径だから…(a,b), (c,d), (0,0)で直角三角形なので…
円の半径をrとして...
(a^2+b^2)+(c^2+d^2)=(2r)^2
(a+c)^2-2ac+(b+d)^2-2bd=5^2+2*8+41^2-2*64=1594
r^2=1594/4=797/2…^^;…
わたしの計算間違ってるのかなぁ…?

円の中心の座標は…
((a+c)/2, (b+d)/2)=(5/2,41/2)
とも求められることになりますが…合わない…^^;;…Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
(a,b), (c,d)を結ぶ線分は、x²+y²-5x-41y+56=0 の直径ですが、
(a,b), (c,d), (0,0)を通る円の直径はありません。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
解説グラッチェです~m(_ _)m~

なんとなく分かってきました…
求める円の方程式は...その2点を通る円:x^2+y^2-5x-41y+56=0と
(x-s)^2+(y-t)^2-r^2=0 との交点を通る直線が5x-y+8=0 なので…(x-s)^2+(y-t)^2-r^2+m(x^2+y^2-5x-41y+56)=k(5x-y+8)
m=-1 なので…
求める円の方程式=x^2+y^2-5x-41y+56+k(5x-y+8)
となるってわけね...自分なりにやっと分かりましたぁ ^^;…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、何度もコメントを有難うございます。

ニリンソウ  
No title

これも仏手柑ですか!
手袋をひょいと木にひっかけたようですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
私には5本指のソックスを履いた仏様の足のように見え、
和歌の仏足石歌体を思い出しました。
5・7・5・7・7・7 の形式で詠まれるのが仏足石歌体と呼ばれる歌体で、
調べてみると、
約4500首を収めた万葉集に仏足石歌体で詠まれた歌が一首だけあって、

伊夜彦(いやひこ)の 神の麓(ふもと)に 今日らもか
鹿の伏すらむ 裘(かはごろも)着て 角つきながら (作者未詳 巻16-3884)

ニリンソウさんに馴染みの深い弥彦の山を詠んだものでした。