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[答690] 十二角形の面積

ヤドカリ

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[答690] 十二角形の面積


 図のように、AB=20,BC=23 の長方形ABCDとその外接円があって、弧AB,弧BC,弧CD,弧DA上に

 2点ずつをとり、その8点と長方形ABCDの4頂点をつないで十二角形を、

 全ての内角が 150゚ になるようにつくるとき、この十二角形の面積 S は?


[解答1]

 外接円の半径をR,中心をO,

 弧AB上の頂点を Aに近い方からE,F,弧BC上の頂点を Bに近い方からG,Hとします。

 ∠AOF=2∠ABF=2(180゚-∠AEF)=2(180゚-150゚)=60゚ 、

 同様に、∠EOB=∠FOG=∠BOH=∠GOC=60゚ になり、

 AE=x,EF=y とすれば、AE=FB=GH=x,EF=BG=HC=y ですので、

 x√3+y=AB ,y√3+x=BC 、2x=AB√3-BC ,2y=BC√3-AB 、

 台形AEFB=(AB+EF)(AE/2)/2=(AB+y)x/4=(2AB+2y)(2x)/16=(AB+BC√3)(AB√3-BC)/16

  =(AB2√3+2AB・BC-BC2√3)/16 、

 同様に、台形BGHC=(BC2√3+2AB・BC-AB2√3)/16 だから、

 台形AEFB+台形BGHC=AB・BC/4 、

 S=長方形ABCD+2(台形AEFB+台形BGHC)=3AB・BC/2=3・20・23/2=690 です。


 2x=AB√3-BC ,2y=BC√3-AB より、次のようにも計算できます。

 4xy=4AB・BC-AB2√3-BC2√3=4AB・BC-AC2√3 、

 xy=AB・BC-OA2√3 になって、

 S=6(△OAF+△AEF)=6{(1/2)・OA・OFsin60゚+(1/2)・AE・EFsin150゚}=(3/2)(OA・OF√3+xy)

  =(3/2)(OA・OF√3+AB・BC-OA2√3)=3AB・BC/2=3・20・23/2=690 です。


[解答2]

 外接円の半径をR,中心をO,

 弧AB上の頂点を Aに近い方からE,F,弧BC上の頂点を Bに近い方からG,Hとします。

 ∠AOF=2∠ABF=2(180゚-∠AEF)=2(180゚-150゚)=60゚ 、

 同様に、∠EOB=∠FOG=∠BOH=∠GOC=60゚ になり、

 ∠AOE=α,∠EOF=β とすれば、α+β=60゚ 、

 ∠AOE=∠FOB=∠GOH=α,∠EOF=∠BOG=∠HOC=β です。

 長方形ABCD=2△OAB+2△OBC=2・(1/2)R2sin(2α+β)+2・(1/2)R2sin(2α+β)

  =R2{sin(2α+β)+sin(2α+β)}=2R2sin{3(α+β)/2}cos{(α-β)/2}

  =2R2sin90゚cos{(α-β)/2}=2R2cos{(α-β)/2} となって、

 R2cos{(α-β)/2}=(長方形ABCD)/2 です。 

 S=6△OAE+6△OEF=6・(1/2)R2sinα+6・(1/2)R2sinβ=3R2(sinα+sinβ)

  =6R2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}=6R2sin30゚cos{(α-β)/2}=3R2cos{(α-β)/2}

  =3・(長方形ABCD)/2=3・20・23/2=690 です。


[解答3]

 左下図で、辺の長さが1つおきに等しく、

 直角三角形はすべて正三角形を対称軸で切ったものだから、

 水色の部分は青色の部分と面積が等しく、薄緑色の部分は緑色の部分と面積が等しく、

 ピンクの部分と赤色の部分の面積が等しいので、

 問題図の等脚台形4個の面積の和は 長方形ABCDの面積の 1/2 になります。

 よって、S=3・(長方形ABCD)/2=3・20・23/2=690 です。

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Comments 20

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こっこちゃん  
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真っ白な オキザリス

清楚で イイですね

心が スッキリになりますよね ないす

Yasuko  
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♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

オキザリス✿純白で綺麗です
清楚ですねぇ~•( ◜◡‾)(‾◡◝ )

ナイス!☆

古い人  
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純白のオキザリス綺麗ですね。

オキザリスは我が家にも有りますが。
我が家の花はパーシーカラーです。
ナイス。

風 草  
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真白なオキザリス、綺麗ですね~
明るい気持ちになります。
ナイス☆

tsuyoshik1942  
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「解答1」もどきでした。
「長方形の3/2倍」と意味ありげな簡明な答になったので、算数解法があるはずと、何度か試みましたがゴールに至りませんでした。
「解答3」はきれいですね!

uch*n*an  
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これは,いろいろと考えられる楽しい問題でした。
私も幾つかの方法で解き,解法にまとめたのは四つ。どれも解答とは少し違うようです。
そのうちの最後の解法は[解答3]と同様に等脚台形を分解し中央の長方形の半分に埋める
という算数解法でした。ただ,[解答3]の方が簡明かな。
いずれにせよ,なかなか気づけませんが,こういう問題は算数でスッキリと解きたいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
こちらも暖かい昼間でないと咲いているところは見られませんが、
咲いていると嬉しいものです。

ヤドカリ  
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樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私は比較的よく白も見ますが、其方では少ないのですね。
白の清楚な雰囲気がいいです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
オキザリスはカタバミのようなピンクや黄色が多いですね。
白もけっこう目にしますが、素敵な色だと思います。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
オキザリスは花が少ない冬でも見られるのが嬉しいです。
もちろん、多くはありませんが、それだけに心に残ります。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難うございます。
オキザリスも何色かあるのがいいですね。
いろいろと品種改良されているのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
花の少ないこの時期に花に出会えるとホッとします。
カメラを向けたくなる瞬間でもあります。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
「長方形の3/2倍」は本当に意味ありげですね。
私もやっと[解答3]に至りました。

ヤドカリ  
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uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
[解答3]はあらかじめ用意していた解答ではありませんが、
出題後に妙に算数で解きたくなって作り上げました。
ただ、これを図なしでは解答を書くのも読むのも嫌ですね。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
[解法3]は鮮やかですねぇ☆
算数の方が柔らか頭が必要ね ^^;v
万華鏡のようなアラベスクのようで奇麗です♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
[解答3]は答を知っていればこそ、何かあるはずだと思って得たもの、
算数にも数学の知識が役立ちますね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
真っ白のオキザリス 花も大きくて見ごたえがありますよね
此方でパーシーカラーやピンク・紫・黄色などと一緒に今沢山咲いています

ナイス☆彡

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
オキザリスの花もいろんな色があり、混ざって咲いていれば綺麗でしょう。
此方ではそんなに咲いていませんが、白に惹かれました。

アキチャン  
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おはようございます。
綺麗ですね(o^-^o)
家にも同じオキザリスが広がっていましたが、この時期少しだけしか見ないです。

ヤドカリ  
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アキチャンさん、コメントを有難うございます。
この寒い時期にはオキザリスも少ないですが、
咲いてくれているのが嬉しいです。