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[答691] 循環節が逆順

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答691] 循環節が逆順


 1/7=0.142857142857…… と 69/91=0.758241758241…… は

 循環節が、142857,758241 で逆順になります。

 では、逆順の6桁の循環節をもつ純循環小数2つが、q,20q/3 で表されるとき、q=?

 q は 0<q<3/20 を満たす有理数です。


[解答1]

 q,20q/3 が ともに6桁の循環節をもつので、999999q,999999(20q/3) がともに自然数であり、

 999999(20q/3)=20(999999q)/3 ですので、999999q は3の倍数で、

 999999q=3k (kは自然数)とすれば、999999(20q/3)=20k です。

 20k の下1桁が 0 だから、逆順の 3k の上1桁は 0 であり、

 3k は5桁の数(4桁以下の場合は 0 を補って5桁にする)になり、

 3k と 2k は5桁の数として逆順になります。

 (10000A+1000B+100C+10D+E)-(10000E+1000D+100C+10B+A)=9999(A-E)+990(B-D) だから、

 5桁の逆順の2数の差は 9999a+990b の形で表されます。

 k=3k-2k=9999a+990b (0≦a≦9,-9≦b≦9) とおけば、

 3k=29997a+2970b,2k=19998a+1980b です。

 a=0 のとき 3k=2970b ,2k=1980b の1の位は 0 なので、万の位も 0 、

  297b,198b は3桁の数として逆順になる必要がありますが、297b≦999 より b≦3 、

  b=1,2,3 に対して (297b,198b)=(297,198),(594,396),(891,594) で適しません。

 a=1 のとき 3k=29997+2970b の1の位は 7 で、2k≦19998+1980・9<70000 で逆順になりません。

 a=2 のとき 2k=39996+1980b の1の位は 6 で、60000≦3k≦69999 、20000≦k≦23333 、

  20000≦19998+990b≦23333 、2≦990b≦3335 、1≦b≦3 になり、b=1,2,3 に対して、

  (3k,2k)=(59994+2970b,39996+1980b)=(62964,41976),(65934,43956),(68904,45936) 、

  (3k,2k)=(65934,43956) のときだけが逆順になり、q=3k/999999=65934/999999=6/91 です。

 a=3 のとき 3k=89991+2970b の1の位は 1 で、2k≧39996-1980・9>20000 で逆順になりません。

 a=4 のとき 3k=119988+2970b の1の位は 8 で、3k=119988+2970b≦99999 だから b<0 、

  2k=79992+1980b<80000 で逆順になりません。

 a≧5 のとき 3k≧29997・5-2970・9>99999 で適しません。

 従って、q=6/91 ,20q/3=40/91 で、循環節は 065934,439560 です。


[解答2]

 q,20q/3 が ともに6桁の循環節をもつので、999999q,999999(20q/3) がともに自然数であり、

 a,b,c,d,e,f を 0以上 9以下の整数として、

 999999q=100000a+10000b+1000c+100d+10e+f,

 999999(20q/3)=100000f+10000e+1000d+100c+10b+a とおきます。

 (100000a+10000b+1000c+100d+10e+f):(100000f+10000e+1000d+100c+10b+a)=3:20

 なので、100000f+10000e+1000d+100c+10b+a は 20の倍数、a=0 で bは偶数です。

 (10000b+1000c+100d+10e+f):(100000f+10000e+1000d+100c+10b)=3:20 、

 (10000b+1000c+100d+10e+f):(10000f+1000e+100d+10c+b)=3:2 です。

 (10000b+1000c+100d+10e+f)/(10000f+1000e+100d+10c+b)=3/2 ですが、

 10000b≦10000b+1000c+100d+10e+f<10000(b+1) ,

 10000f≦10000f+1000e+100d+10c+b<10000(f+1) だから、

 b/(f+1)<3/2<(b+1)/f 、2b<3(f+1),3f<2(b+1) 、(2b-3)/3<f<2(b+1)/3 、

 bは偶数であることに注意すれば、

 (b,f)=(2,1),(4,2),(4,3),(6,4),(8,5) です。

 また、3(10000f+1000e+100d+10c+b)=2(10000b+1000c+100d+10e+f) だから、

 3b≡2f (mod 10) となり、(b,f)=(6,4) だけが適します。

 よって、3(40000+1000e+100d+10c+6)=2(60000+1000c+100d+10e+4) 、

 298e=197c-10d-1 、cは奇数で 197c-91≦298e<197c となり、

 (c,e)=(5,3) だけが適し、894=985-10d-1 、d=9 です。

 従って、q=65934/999999=6/91 です。

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Comments 20

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
ニリンソウさんと同じくマユハケオモトに似ていますね
我が家の葉すでに花は終わり小さな実が付いているようです
ナイス☆彡

アキチャン  
No title

おはようございます。
とても、おもしろく撮れていますね。何なのでしょうか(o^-^o)

Yasuko  
No title

(*^・ェ・)ノ コンチャ♪

皆さんの言われるようにマユハケオモトに似てますね

パソコン不調で遅くなりましたぁ~•(✿ฺ◡ฺ‿ฺ◡ฺ)

ナイス!☆

ひとりしずか  
No title

これが花ですか?
しべが目立つ花ですね・・
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
なんとかかんとか、アンドレカンドレ辿り着けましたぁ…
覆われた雪からもっこりと顔を出せた福寿草の気持ちにもニタリ ^^
Orz~

風 草  
No title

ふさふさのお花なんですね。
面白いです。

ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」と同じでした。
この問題は、最初、取っ掛かりにまごつきましたが、その後は比較的スムーズに歩めました。
もっとも、今、別の問題で止まっちゃってます。

ヤドカリ  
No title


写真の花はマッソニア エキナタという
南アフリカ原産のキジカクシ科の植物です。
花の文化園の大温室に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
上に書きましたように、南アフリカ原産の植物です。
花を包む葉が立派でした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
これは温室で見た南アフリカ原産の植物ですので、季節感がありません。
蘂と立派な葉に驚きました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
面白い植物です。温室で見たものですが、世界には変わった植物もありますね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難うございます。
花の文化園の大温室で見ました。
外は花が少ない時期ですので、温室は有難いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難うございます。
仰るとおり、本当に蘂がよく目立ちました。
たくさんありますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
循環小数にはいろんな知らない性質があって、
ひょっこり問題ができることがあります。
循環小数に埋もれた福寿草ですか。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
植物園の温室では見慣れない植物が見られます。
面白いです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
解き方はというか、書き方には個性が出ますが、
だいたい等価なことをみなさんされていました。

樹☆  
No title

こんばんは
アフリカ産ですか・・日本は寒いでしょうね。。
温室でヌクヌクです
ちょろはオコタでヌクヌクです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
南アフリカ原産の花です。
温室の中とはいえ、個性を中朝しながら咲いていました。

こっこちゃん  
No title

↑の コメントで はなの名前判りました

ナイスに ポチして帰ります

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
マッソニア エキナタという個性的な花でした。