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[答692] 2つの3桁の自然数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答692] 2つの3桁の自然数


 和が 999 である2個の3桁の自然数があって、それを並べてできる6桁の数は2種類あります。

 その2種類の6桁の数の積が平方数であるとき、もとの2個の3桁の自然数は?


[解答]

 もとの2個の3桁の自然数を a,b (a>b) とすれば、a+b=999 です。

 6桁の2数の積は、

 (1000a+b)(1000b+a)=(999a+a+b)(999b+b+a)=(999a+999)(999b+999)=9992(a+1)(b+1)

 となって、(a+1)(b+1) が平方数になればよいことになります。

 ここで、GCD(a+1,b+1)=g とすれば、互いに素な自然数 c,d (c>d)を用いて、

 a+1=c2g,b+1=d2g と表されます。

 (a+1)+(b+1)=1001 だから、(c2+d2)g=7・11・13 です。

 ここで、c2,d2 を 7 で割った余りは 0,1,4,2 ですので、

 c2+d2 が 7 の倍数になるのは c,d の両方が 7 の倍数のときで、

 これは、c,d が互いに素であることに反します。よって、g が 7 の倍数になります。

 また、c2,d2 を 11 で割った余りは 0,1,4,9,5,3 ですので、

 c2+d2 が 11 の倍数になるのは c,d の両方が 11 の倍数のときで、

 これは、c,d が互いに素であることに反します。よって、g が 11 の倍数になります。

 さらに、c2+d2>1 ですので、g=77,c2+d2=13 です。

 c>d ですので、c=3,d=2 となって、

 a+1=c2g=693,b+1=d2g=308 、a=692,b=307 です。


[参考]

 和が 999 という条件をはずして、a>b として、プログラムで求めました。

 (a,b)=(804,111),(831,600),(729,344),(692,307),(554,400),(277,200) です。

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Comments 16

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こっこちゃん  
No title

真赤な椿ですね

こんなに 咲いてるなんて見事ですね ナイス☆」

アキチャン  
No title

おはようございます。
葉の中で咲く赤い色はかわいいですね(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

「解答」読ませていただきました。
すっきりした道筋で答が特定されており、勉強になりました。自分は、答だけは力づくで得ましたが、納得できる解法には至りませんでした。

ニリンソウ  
No title

立派な木ですがこれは山茶花だと思います!
今頃はこの色がほとんどですね。
今日は暑いくらいの陽気でしょう?

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
大体同じプロットでいけましたが…そっか…gを使えば…c^2*g,d^2*gと表せるわけでしたぁ ^^;…勉強になりました☆
いまだ△の問題分からず…^^;;…?

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
山茶花の花 綺麗に咲いていますね
此方でも生垣などに良くこの色の山茶花が植えてあります

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難うございます。
山茶花です。
山茶花の樹はよく見るのですが、私にとって自然に見えるものカメラを向けました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
緑の葉の中に赤い花が咲くと目立ちますね。
紅一点ではありませんが。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
答は試行錯誤すれば求められますが、スッキリ解きたいものですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
この色の山茶花が多いのですが、白も上品ですね。
ところで、今日まで暖かかったのですが、明日は寒そうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
4n+3 で表される素数が平方の和で表されないことを知っていれば楽です。
△の問題は気長に取り組んでみて下さい。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
生垣にも山茶花が多いですね。
ところで、今日までの陽気はいいですね。寒波の再来が不安です。

ひとりしずか  
No title

さざんかでしたか・・
どっちかなぁ~と思いつつ見てました
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントと早速のナイス!を有難うございます。
山茶花でした。よく見かけますよ。

樹☆  
No title

山茶花は落ちたらはなびらがばらばらですね。
鮮やかな色です。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
山茶花は椿とちがって花弁がバラバラに落ちますね。
それがいいのは良くないのか、見る人それぞれです。