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[答65] 四角形に外接する円の直径

ヤドカリ

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[答65] 四角形に外接する円の直径


 図のように、AB=1, BC=4, CD=8, DA=7 である四角形ABCDが円に内接している。

 この円の直径は?



[解答1]

 ∠C=θ とすると、余弦定理より、

 BD2=42+82-2・4・8cosθ=80-64cosθ

 BD2=12+72-2・1・7cos(π-θ)=50+14cosθ

 50+14cosθ=80-64cosθ となって、cosθ=5/13。

 よって、BD=12(√65)/13。また、sinθ=12/13。

 外接円の直径は、BD/sinθ=√65。


[解答2] 12+82=42+72=65 を利用

 AC//DE となるように、円周上に点Eをとると、AE=8, CE=7 で、

 ∠BAE=θ とすると、余弦定理より、

 BE2=12+82-2・1・8cosθ=65-16cosθ

 BE2=42+72-2・4・7cos(π-θ)=65+56cosθ

 65+56cosθ=65-16cosθ となって、cosθ=0。

 ∠BAE=∠BCE=90°となって、BEは直径で、BE=√65。


[解答3] 多分、思いつかないとは思いますが……

 三角形においては、4×(外接円の半径)×(面積)=3辺の長さの積 が成り立ちます。
 https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-193.html

 AC=x, BD=y, この円の半径=R, 四角形ABCDの面積=S とすると、

 4R△ABC=1・4・x, 4R△ACD=7・8・x 加えると、4RS=60x、

 4R△ABD=1・7・y, 4R△BCD=4・8・y 加えると、4RS=39y、

 16R2S2=60・39xy。

 ブラマグプタの公式(円に内接する四角形の面積の公式)より、

 (1+4+7+8)/2=10, S2=(10-1)(10-4)(10-7)(10-8)=9・6・3・2、

 トレミーの定理より、xy=1・8+4・7=36 だから、

 16R2・9・6・3・2=60・39・36、4R2=65、2R=√65。

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Comments 4

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スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
1^2+8^2=4^2+7^2=65
から...解法2に気付くべきでした...^^;
図からは...AC//DE という点が取れそうにない気がしますが...計算上は取れることが担保されるわけですね...^^
解法3は便利ですね♪

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
解法2はうまく条件が整っていないと使えませんが、
解法3はいつでも使えます。
辺の長さを a,b,c,dとして一般化するとき、解法3が解法1より計算が楽です。

uch*n*an  
No title

[解答3]は,言われてみれば納得ですが,気付きませんでした。
トレミーの定理が使えないかな,とは思ったものの,その先までは...勉強になります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この問題はだいぶ前に作って、第65問用に置いていたものです。
問題と解答を作ってかなり後で、[解答3]を思いつきました。