FC2ブログ

Welcome to my blog

[答695] 内接円と辺の比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答695] 内接円と辺の比


 △ABCとその内心 I があって、内接円とIAの交点をPが IAを 1:2 に内分し、IB:IC=1:3 のとき、

 BC:CA:AB=?


[解答1]

 ∠CAB=2α,∠ABC=2β,∠BCA=2γ とし、内接円の半径を r とします。

 まず、sinα=r/(3r)=1/3 だから、cosα=(2√2)/3 です。

 △IBCにおいて、IB=b,IC=3b とします。

 ∠BIC=180゚-β-γ=90゚+(180゚-2β-2γ)/2=90゚+2α/2=90゚+α だから、

 余弦定理より、BC2=b2+(3b)2-2・b・3b・cos(90゚+α)=10b2+6b2sinα=10b2+6b2(1/3)=12b2

 BC=2b√3 です。

 cosβ=(b2+12b2-9b2)/(2・b・2b√3)=1/√3 、sinβ=(√2)/√3 、

 cosγ=(9b2+12b2-b2)/(2・3b・2b√3)=5/(3√3) 、sinγ=(√2)/(3√3) になります。

 △ABCにおいて、正弦定理より、

 BC:CA:AB=sin2α:sin2β:sin2γ=sinαcosα:sinβcosβ:sinγcosγ

  =(2√2)/9:(√2)/3:(5√2)/27=6:9:5 です。


[解答2]

 IからABにおろした垂線の足をG,IからBCにおろした垂線の足をH,

 CからBIの延長におろした垂線の足をD,内接円の半径を r とします。

 △IGA∽△IDC により、ID:IC=IP:IA=1:3 になり、

 IB:IC=1:3 と合わせて、IB=ID=b,IC=3b とします。

 三平方の定理により、AG=(2√2)r,DC=(2√2)b,BC=(2√3)b になり、

 2△IBC=(2√3)b・r=b・(2√2)b 、b=(√3)r/√2 、

 三平方の定理により、BH=r/√2 ,CH=5r/√2 になり、

 AG:BH:CH=(2√2)r:r/√2:5r/√2=4:1:5 、

 BC:CA:AB=(1+5):(5+4):(4+1)=6:9:5 です。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
Yasuko  
No title

こんにちわ(◕ฺ‿◕ฺ✿ฺ)

ご無沙汰です!
大阪も雪が降りましたね
雪の中のパンジー元気そぉ~ほっこり合います^^

ナイス!☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」もどきと言えるか怪しい手法でした。
自分は、α+β+γ=90、SIN(α)=1/3、SIN(β)=3*SIN(γ)を元に、何回か変換し、[6:9:5」にたどり着きました。
ただ、[解いた!」という実感があまり持てませんでした。
「解答2」は相似と三平方だけですね!

ところで、コメントのやりとりの中で時々「初等幾何」を見かけますが、この区分は何ですか!
厳密な学術的な区別を知りたいわけではありません。他の方たちへのリコメを読ませていただいたとき、その推測の一助にしたいだけです。
「算数の範囲」、[正弦定理、余弦定理、倍角の変換等の三角関数」「円と直線の数式からの交点等の算出」等との係わりです。

たけちゃん  
No title

DはAC上の点ではなく,BIを延長してBD⊥CDとなるようにした点なので,
∠CID=180°-(∠BIH+∠CIH)であり,
∠Iの青の部分の半分,つまり∠AIGと等しくなります.
これより,2つの直角三角形△IGAと△IDCは相似ですね.

たけちゃん  
No title

人によって,「初等幾何」の感覚は違うかもしれませんので,
差し出がましいですが,私の感覚も書いておきます.

私にとって,「初等幾何」と言えば,
合同,相似,円周角,チェバ/メネラウスの定理,面積比あたりの,
中学数学+α程度までを指す感じです.
「三角比や座標,ベクトルといった道具を使わない」という気分かと思います.

というか,最初にも書いたように,人によって捉え方には差があるかもしれません.

ゆうこ つれづれ日記  
No title

大阪も雪が降ったのですね。
せっかくきれいに咲いたビオラが「もう降らないで~~」
と、叫んでいるようです。
ナイス☆

古い人  
No title

今回の雪名古屋でも5センチほど積もりました。

寒さに耐えて綺麗に咲いてますね。
ナイス。

スモークマン  
No title

>たけちゃんさんへ ^^
そっか…納得ぅ ^^;v
解説いただきありがとうございました Orz~

スモークマン  
No title

グーテンアーベント^^
上の疑問は氷解しました…^^;...
わたしのいつもの早とちりで申し訳ございませんでした...~m(_ _)m~

こんなデフォルメは考えたこともなかったです…面白いですね☆

ヤドカリ  
No title

> 2014/2/10(月) 午前 9:09の内緒様、早速のコメントを有難うございます。
パンジー自体は珍しくないので撮っていませんでしたが、
周りだけ雪を融かして咲いている姿が素敵でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
周りの雪がかき氷のみぞれに見えましたか。
私がその発想をできるのは夏です。もちろん雪は残っていませんが。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
花言葉の、謙遜 誠実 つつしみ深さ は樹ちゃんの理想の姿でしょうか?
クリステルさんのように、
は・な・こ・と・ば・(合掌しながら)花言葉~ なんてされているのでは?

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難うございます。
少しですが、珍しく雪が積もり、周りを融かして顔を出していました。
その姿にほっとした気持ちになりました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
丈夫な花には見えませんが、雪の中でもしっかり咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ありふれた花でもこのように健気に咲いていると思わず応援したくなります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、何度もコメントを有難うございます。
納得されたようで、安堵しました。
[解答1]は三角比の定理が面倒な考えを省略してくれるので、
安心感がありますね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難うございます。
お久しぶりです。そして久しぶりの雪でした。
その中で、か弱そうな花がしっかり咲いているのが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
「初等幾何」って分かりにくい言葉ですね。
私も三角比や座標やベクトルや複素数を使わない幾何だと解釈しています。
文字式、特に2次方程式を使う場合は、代数的処理を伴いますので、
「初等幾何」に含めていいものかどうか、よく分かりません。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、スモークマンさんへの説明と、
「初等幾何」についての説明を有難うございます。
tsuyoshik1942さんへのリコメにも書きましたが、
私自身、よく分かって使っているわけではありません。
2乗を含む定理が多いので、2次方程式を避けきれないことがあり、
代数的処理をどこまで認めるかも判断の別れるところと思います。
初等幾何の三大難問の1つ、角の3等分が不可能であることは、
代数的に示せますが、どの分野に入れるかは難しいです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
この冬初めてですが、こちらでも積もりました。
弱々しそうで、強かに咲いていたと思います。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとナイス!を有難うございます。
全国的に降ったようです。
雪に慣れない地方でたくさん降れば大変です。
此方も其方もこの程度で済みましたね。