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[答696] 容器の水の移動

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答696] 容器の水の移動


 容器Aには 72g ,容器Bには Wg の水が入っており、

 「容器Aの水の 1/3 を容器Bに移したあと、容器Bの水の 1/3 を容器Aに移す」という操作を

 何回か繰り返すと、容器Aと容器Bに入っている水の量が等しくなりました。

 操作の回数が最多になるときの Wの値は?


[解答1]

 水の量は g(グラム)で表すことにします。

 n回の操作をした後の、容器Aの水の量を an ,容器Bの水の量を bn とします。

 容器Aの水の 1/3 を容器Bに移すと、

 容器Aの水の量は (2/3)an ,容器Bの水の量は (1/3)an+bn

 容器Bの水の 1/3 を容器Aに移すと、

 容器Aの水の量は (2/3)an+(1/3){(1/3)an+bn}=(7/9)an+(1/3)bn

 容器Bの水の量は (2/3){(1/3)an+bn}=(2/9)an+(2/3)bn だから、

 an+1=(7/9)an+(1/3)bn , bn+1=(2/9)an+(2/3)bn です。

 an+1+bn+1=an+bn , 2an+1-3bn+1=(4/9)(2an-3bn) 、

 よって、{an+bn}は定数 ,{2an-3bn}は公比 4/9 の等比数列となり、

 an+bn=72+W ,2an-3bn=(4/9)n(2・72-3W) 、

 3an+3bn=216+3W ,2an-3bn=144(4/9)n-3W(4/9)n

 5an=216+3W+144(4/9)n-3W(4/9)n

 ここで、an=(72+W)/2 とおいて、両辺を2倍すれば、

 5(72+W)=432+6W+288(4/9)n-6W(4/9)n 、{6(4/9)n-1}W=72{4(4/9)n+1} 、

 ここで、(4/9)2=16/81>1/6 ,(4/9)3=64/729<1/6 だから、最大の自然数nは n=2 になり、

 (6・16/81-1)W=72(4・16/81+1) 、(6・16-81)W=72(4・16+81) 、W=696 です。

☆ n=1 のときは、(6・4/9-1)W=72(4・4/9+1) 、(6・4-9)W=72(4・4+9) 、W=120 です。


[解答2]

 容器Aの水の量が a ,容器Bの水の量が b になる前、

 容器Bの水の量は (3/2)b ,容器Aの水の量が a-(1/2)b で、その前は、

 容器Aの水の量は (3/2){a-(1/2)b}=(3/2)a-(3/4)b ,

 容器Bの水の量は (3/2)b-(1/2){a-(1/2)b}=-(1/2)a+(7/4)b ですので、

 1回の操作の前は、容器Aの水の量は (3/2)a-(3/4)b ,容器Bの水の量は -(1/2)a+(7/4)b 、

 すなわち、容器A,容器Bの水の量の比は (6a-3b):(-2a+7b) だったことになります。

 1:1 から逆にたどって、 1:1 ← 3:5 ← 3:29 ← (-69):197 だから、

 2回の操作の前は、 72:W=3:29 、W=696 です。

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Comments 15

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ひとりしずか  
No title

ベニバナトキワマンサクでしょうか?
細長いひも状のちぢれた花びらの赤が目立って~
春ですよ~と・・
嬉しげに見えます(^^♪
ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます。
この独特な花びらは楽しいです。
たくさんあるかと思えば4枚だと教えて
もらいました。。今朝はとても明るく感じます。
もうすぐ春。。

アキチャン  
No title

おはようございます。
とっても面白い表情をしてますね!赤いのは初めてみます(o^-^o)

Yasuko  
No title

☆。◕‿◕。)ノ♡☆,。・:*:・゚おはよ~☆彡

マンサクの赤は珍しいですね
黄色は、よく見かけますが~文化園で咲いてましたぁ~?

ナイス!(*σ>∀<)σ凸ぽちっ

こっこちゃん  
No title

リボンのような 万作 可愛いですね

此方で まだ 見れてないので嬉しいです ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
漸化式が作れず…^^;
やむなく、等しい場合からの逆算決行…^^;;
but...2回目まで遡るだけですんでほっとできた問題でしたぁ ^^;v
Orz~
さいしょ…等しいときは、72/2=36になってるから、そこからこじ開けようと考えましたが...わたしにゃ無理でしたぁ…とほほっ…^^;;

古い人  
No title

紅花マンサク見事な色ですね。

最近この色が増えて来ましたね。
ナイス。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
春を告げる花ですね。
花自身も嬉しいのでしょうか、たくさん咲いていました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
もっとストレートな花びらのもありますが、このマンサクは縮れていました。
赤の濃いところもありますが、花弁は明るい赤でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私はどちらかというと紅花の方をよく見ます。
黄色も白っぽいのもいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
文化園では牡丹園の端の所に黄色と赤が並んで咲いています。
機会があればご覧下さい。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
春の花に関しては其方のほうが圧倒的に早いのに、マンサクはまだなのですね。
いろんな花が咲く季節がもうすぐですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
遡るのが2回で済むので、算数のような問題ですが、
漸化式でないと、多い場合は大変なことになりますね。
ただ、回数が多いと数値が複雑になり、問題番号に関連させられません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントを有難うございます。
私はこの色のマンサクのほうがよく見ます。
見事に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

> 2014/2/12(水) 午後 5:17の内緒様
コメントを有難うございます。
ベニバナトキワマンサク、そちらでも見られればいいですね。